Chủ đề này có 4 trả lời

[VNMaths]

Nhờ các bạn xem hộ bài này:

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là một số tự nhiên chẵn, (tức là căn bậc n+1 của đơn vị), .

Hãy CM rằng: .

(Điều này tương đương với việc CM hoặc )

[Mr Stoke]

Để em giúp bác:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w^{kn}=\overline{w}^k và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{w^{-1}}=w

Dễ thấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=1+\dfrac{1}{2^n}\cdot\sum_{j=0}^nC^j_n\sum_{k=1}^nw^{k(j+1)}\overline{w^{k(n-j)}}
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=1+\dfrac{1}{2^n}\cdot\sum_{j=0}^nC^j_n\sum_{k=1}^nw^{2k(j+1)}
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=1+\dfrac{1}{2^n}\cdot\sum_{j=0}^nC^j_n\sum_{k=1}^nu_j^k
với http://dientuvietnam...gi?u_j=w^{2(j 1)}
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chẵn nên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?j<n và http://dientuvietnam...metex.cgi?u_n=1).
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=\dfrac{n}{2^n}+1-\dfrac{1}{2^n}\cdot\sum_{j=0}^{n-1}C_n^j (do http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u_j^{n+1}=1 )
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=\dfrac{n}{2^n}+1-\dfrac{1}{2^n}\cdot(2^n-1)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=\dfrac{n+1}{2^n}
hiển nhiên khác không với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n>0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chẵn.
Vậy tất nhiên tổng khác không.

Không biết có tính nhầm chỗ nào không, em ko có bút ở đây nên ko kiểm tra được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Stoke: 28-06-2005 - 21:22

[VNMaths]

Cảm ơn Mr Stoke, bài này giải vậy là đúng rồi. Hóa ra phần ảo của cái tổng đó bằng 0 mà anh không nhìn ra.

Hỏi thêm 1 ý: Nếu thay http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?w ở trên bằng các căn (bậc n+1) khác của đơn vị, chẳng hạn như http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_k giữ nguyên như ban đầu)?

[Mr Stoke]

Cảm ơn Mr Stoke, bài này giải vậy là đúng rồi. Hóa ra phần ảo của cái tổng đó bằng 0 mà anh không nhìn ra.

Hỏi thêm 1 ý: Nếu thay http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?w ở trên bằng các căn (bậc n+1) khác của đơn vị, chẳng hạn như http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_k giữ nguyên như ban đầu)?

nếu thay đổi w mà vẫn giữ nguyên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_k thì tính tóan cần một chút thay đổi. Kí hiệu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?w_0 là http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?w ở bài đầu thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?w mới có dạng http://dientuvietnam...etex.cgi?w_0^m. Sau đó làm như trên, nhưng khi lấy tổng các số hạng dạng http://dientuvietnam...i?w_0^{k(m 2j 1)} cần phải xét trường hợp riêng http://dientuvietnam...etex.cgi?m 2j 1 chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n 1 tức là bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1,2(n+1) lúc này phải xét thêm cả tính chẵn lẻ của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m nữa.

Làm theo cách này cũng ra đựơc nhưng em ko còn đủ ... thể lực để làm tiếp đâu, đành nhờ anh em khác giúp sức vậy.

Không biết từ đâu dẫn bác tới với bài tóan này, bác thử nói qua, biết đâu có thêm ý tưởng gì mới.

[VNMaths]

Em nói vậy là đúng rồi, anh cũng đã tính được cái tổng đó, tùy thuộc m chẵn hay lẻ. Bài này xuất phát từ việc tìm một số trường hợp đặc biệt của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\psi_j để ma trận A khả nghịch, trong đó A có các phần tử là , i, j =0, ..., n.

Anh đã đơn giản nó bằng cách chọn rồi thử CM xem sao. Khi đó A là một ma trận circulant (gọi mà ma trận vòng quanh? ), và định thức của nó bằng tích của các số có dạng .

Có bác nào có ý tưởng về việc chọn nữa không nhỉ.