Chủ đề này có 12 trả lời

[thuongthoine]

cho n là số nguyên 3.
c/m :căn bậc n-1 của n căn bậc n của n+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuongthoine: 11-11-2009 - 22:20

[squall]

cho n là số nguyên 3.
c/m :căn bậc n-1 của n căn bậc n của n+1

đề bài có sai gi ko hả bạn? sao gì mà lạ thế

[vanthien_tanphu]

Ta có $\sqrt[n-1]{n} > \sqrt[n]{n+1} \Leftrightarrow n^n > (n+1)^{n-1} \Leftrightarrow n > \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1}$
Khai triển $A = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = C_n^0+C_n^1\dfrac{1}{n^1} + C_n^2\dfrac{1}{n^2} + C_n^3\dfrac{1}{n^3}. . . .$
$A = 1 + \dfrac{n}{1.n} + \dfrac{n(n-1)}{1.2.n^2} +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3.n^3} + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4.n^4}. . . $
Như vậy $ A < 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!}. . . $
Suy ra $ A < 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + . . . \dfrac{1}{2^{n-1}} = 1 + \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} < 3$
Từ đây ta được $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1} < A<3 \le n$

[thuongthoine]

Ta có $\sqrt[n-1]{n} > \sqrt[n]{n+1} \Leftrightarrow n^n > (n+1)^{n-1} \Leftrightarrow n > \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1}$
Khai triển $A = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = C_n^0+C_n^1\dfrac{1}{n^1} + C_n^2\dfrac{1}{n^2} + C_n^3\dfrac{1}{n^3}. . . .$
$A = 1 + \dfrac{n}{1.n} + \dfrac{n(n-1)}{1.2.n^2} +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3.n^3} + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4.n^4}. . . $
Như vậy $ A < 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!}. . . $
Suy ra $ A < 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + . . . \dfrac{1}{2^{n-1}} = 1 + \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} < 3$
Từ đây ta được $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1} < A<3 \le n$

thank đại ca nhiều
nhưng mà cái này hơi cao quá
có cách nào hay và thuần túy hơn ko
chẳng hạn như quy nạp naz

[thuongthoine]

đề bài có sai gi ko hả bạn? sao gì mà lạ thế

thế anh thấy sai ở đâu ạ ^^

[canhochoi]

Cách làm này đâu có gì là cao đâu, chỉ dùng kiến thức đã học, đặc biệt cm hay thật!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhochoi: 14-11-2009 - 13:02

[phuc_007]

bai nay co the cm bang qui nap , chi dung kien thuc cap 2 thoi , nhung co hoi dai mot chut em komuon pót len

[thuongthoine]

bai nay co the cm bang qui nap , chi dung kien thuc cap 2 thoi , nhung co hoi dai mot chut em komuon pót len

anh post lên hộ em cái
bài này thầy em bắt c/m quy nap cơ
còn cái khai triển niu tơn em chưa học
cảm ơn anh trc

[nhatminh1210]

ta cần c/m: n^n > (n+1)^(n-1)
ta có: n^(n+1) = (1+1+1+...+ 1/2 + 1/2)^(n+1) (n+1 số hạng) > (n+1)^(n+1).(1/4)
suy ra: n^n > (n+1)^(n-1).[[(n+1)^2]/n].(1/4) > (n+1)^(n-1)
Ở đây thì n>=2 vẫn đúng mà bạn ?!?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatminh1210: 17-11-2009 - 22:42

[nguyen_ct]

bài này có trong quyên nâng cao và phát triển toán 8 của vũ hữu bình mà

[stargirl]

có bài này ai rảnh trả lời nha ( có trong toán tuoi tho )
so sánh $ 1999^{1998}$ và $ 1998^{1999} $
bít kq nhưng quên mât cách làm

[tuan101293]

có bài này ai rảnh trả lời nha ( có trong toán tuoi tho )
so sánh $ 1999^{1998}$ và $ 1998^{1999} $
bít kq nhưng quên mât cách làm

ta có $1998^{1999}>1999^{1998}$
bạn có thể CM như sau
xét hàm $f(x)=\sqrt[x]{x}$
$f'(x)=\sqrt[x]{x}*(\dfrac{1-ln(x)}{x^2})<0$ với x>3
suy ra $\sqrt[1998]{1998}>\sqrt[1999]{1999}$ .....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 20-11-2009 - 08:50

[nhatminh1210]

//stargirl: bài của bạn giải tương tự bài mà mình đã post ở trên. tổng quát là n^(n+1)>(n+1)^n với n>=4