1. Cho $p$ là một số tự nhiên khác 0. Tính giới hạn: $$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{i^p}} }}{{{n^{p + 1}}}} (1)$$
Áp dụng kết quả của (1), tính giới hạn:
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^{2008}} + {2^{2008}} + ..... + {{(n - 1)}^{2008}} + {n^{2008}}}}{{{n^{2009}}}}$$
(Olympic SV 2008).
Viết (1) dưới dạng: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} ^p}$. Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^p},\,f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\left[ {0,1} \right]$ và khả tích trong $\left( {0,1} \right)$.
Chia $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n},\,\,i = \overline {0,n} $. Khi đó ${\delta _i} = {x_i} - {x_{i - 1}} = \dfrac{i}{n} - \dfrac{{i - 1}}{n} = \dfrac{1}{n} = m{\rm{ax}}{\delta _i}$ và $m{\rm{ax}}{\delta _i} \to 0 \Leftrightarrow n \to \infty $.
Trên mỗi đoạn $\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]$ chọn ${\xi _i} = {x_i} = \dfrac{i}{n}$. Tổng tích phân tương ứng là: ${T_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right){\delta _i} = } {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} ^p}\dfrac{1}{n}$.
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} ^p}\dfrac{1}{n} = \mathop {\lim }\limits_{m{\rm{ax}}{\delta _i} \to 0} {T_n} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^1 {{x^p}dx = } \left. {\dfrac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{p + 1}}$$.
Vậy $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{i^p}} }}{{{n^{p + 1}}}} = \dfrac{1}{{p + 1}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
--------------------------------
Thay $p=2008$ vào (2) ta được:$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^{2008}} + {2^{2008}} + ..... + {{(n - 1)}^{2008}} + {n^{2008}}}}{{{n^{2009}}}} = \dfrac{1}{{2009}}$$
