Chủ đề này có 5 trả lời

[hongthaidhv]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
KHỐI THPT CHUYÊN-ĐẠI HỌC VINH
NĂM 2009-2010

Bài 1:
Giải phươngg trình:
$\dfrac{1}{2} log_{2}(x+2) +x+3= log_{2} \dfrac{2x+1}{x} +(1+ \dfrac{1}{x})^2 +2\sqrt{x+2}$

Bài 2:
Tìm tất cả hàm liên tục $ f:R^{+}->R^{+}$ thỏa mãn:
$f(f(xy)-xy) + xf(y) + yf(x) = f(xy) + f(x)f(y), \forall x,y>0$

Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.
Gọi $D$ là một điểm trên đoạn $BC$, đường tròn $(P)$ tiếp xúc với $DC, DA$ tại $E, F$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$.
CMR $ E, F, I$ thẳng hàng.

Bài 4:
Giả sử $m,n$ là 2 số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{n}{d}$ là số lẻ với $d=(m,n)$.
Xác định $(a^m+1, a^n-1), \forall a \in N, a>1$.

Bài 5 :
Giã sử mỗi số nguyên dương không lớn hơn $ C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+C^{3}_{n}, n \geq 3$ được tô một trong hai màu Xanh hoặc Đỏ.
Chứng minh t?#8220;n tại dãy các số cùng màu thỏa mãn:
$1. x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$
$2. x_{2}-x_{1} \leq x_{3}-x_{2} \leq ...\leq x_{n}-x_{n-1} \leq C^{2}_{n}$

-----------------------------------------------------------
CÁN BỘ COI THI KO GIẢI THÍCH GÌ THÊM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 28-11-2009 - 16:07

[duythuc_dn]

Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.
Gọi $D$ là một điểm trên đoạn $BC$, đường tròn $(P)$ tiếp xúc với $DC, DA$ tại $E, F$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$.
CMR $ E, F, I$ thẳng hàng.

Bài này chính là Bổ đề Sawayama

[hongthaidhv]

Bài 1:
Giải phươngg trình:
$\dfrac{1}{2} log_{2}(x+2) +x+3= log_{2} \dfrac{2x+1}{x} +(1+ \dfrac{1}{x})^2 +2\sqrt{x+2}$

Giải:

Bài này biến đổi chút ta đưa về đc $f(\sqrt{x+2})=f(2+ \dfrac{1}{x})$
Trong đó: $f(t)=t^2 - 2t +log_{2}t$. Xét hàm này đồng biến.

Bài 2:
Tìm tất cả hàm liên tục $ f:R^{+}->R^{+}$ thỏa mãn:
$f(f(xy)-xy) + xf(y) + yf(x) = f(xy) + f(x)f(y), \forall x,y>0$.

Giải:
Biến đổi chút ta đưa đc về $g(g(xy))=g(x)g(y)$ với $g(x)=f(x)-x$. dễ thấy $g(x)>0 \forall x \in R^{+}$
Ta cm đc $g(g(x))=g(1).g(x)$, thay vào và chia 2 vế cho $g^{2}(1)$. ta đc $h(xy)=h(x)h(y)$, trong đó $h(x)=\dfrac{g(x)}{g(1)}$.
Ta có $f$ liến tục thì $g$ liên tục nên $h$ liên tục
( huhu, sáng làm đến đây thì nhìn nhầm thành $h(x+y)=h(x)h(y)$, ngu quá , đáng chết)
Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.
Gọi $D$ là một điểm trên đoạn $BC$, đường tròn $(P)$ tiếp xúc với $DC, DA$ tại $E, F$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$.
CMR $ E, F, I$ thẳng hàng.

Bài này dùng Ptolemy suy rộng và Ceva là ok.

Bài 4:
Giả sử $m,n$ là 2 số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{n}{d}$ là số lẻ với $d=(m,n)$.
Xác định $(a^m+1, a^n-1), \forall a \in N, a>1$.

Giải:
Ta giã sử $n=mk+r$, khi đó cm đc $r=d$. chia 2 vế cho $d$ .Do $\dfrac{n}{d}$ lẻ nên ta xét $k$ chẵn hoặc $ \dfrac{m}{d}$ chẵn.
Ta có
$(a^m+1, a^n-1)=( a^{m+1}, a^{n-m}+1)=..=(a^m+1, a^d + (-1)^{k+1})$.
Nếu k chẵn, $\dfrac{m}{d}$ lẻ
ta có: $s=(a^m+1, a^n-1)=(a^m+1, a^d -1)$ suy luận tương tự và lùi ta có $2 \vdots s$

Tương tự cho cac TH khác, ta đều thu $2 \vdots s => s \in {1; 2}$

Bài 5 :
Giã sử mỗi số nguyên dương không lớn hơn $ C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+C^{3}_{n}, n \geq 3$ được tô một trong hai màu Xanh hoặc Đỏ.
Chứng minh t?#8220;n tại dãy các số cùng màu thỏa mãn:
$1. x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$
$2. x_{2}-x_{1} \leq x_{3}-x_{2} \leq ...\leq x_{n}-x_{n-1} \leq C^{2}_{n}$

Bài này chuầy lung tung có lẽ không đúng lắm

-----------------------------------------------------------
Huhu, thế này là ko đc đi thi r?#8220;i, chán quá ... đáng chết dáng chết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 28-11-2009 - 16:24

[hongthaidhv]

Bài này chính là Bổ đề Sawayama

Bổ đề này là gì thế, nghe lạ hoắc không à, có lẽ do mình ít học hình nên ko biết. Đáng chết đáng chết again

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 28-11-2009 - 16:23

[Pirates]

Bổ đề này là gì thế, nghe lạ hoắc không à, có lẽ do mình ít học hình nên ko biết. Đáng chết đáng chết again

Bổ đề Sawayama chính là định lý Lyness mở rộng đó anh?

Định lý: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và điểm $M \in BC$. Một đường tròn $(O')$ tiếp xúc với hai cạnh $MA, MC$ lần lượt tại $E, F$ đồng thời tiếp xúc với cả đường tròn $(O)$ tại $K$. Khi đó ta có tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $EF$.

[pucca_94]

thế kết quả sao rồi hả anh. thi quốc gia thì đc mấy người đi thi thế