SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
****
Câu 1. (5 điểm) Cho hàm số $y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}$ có đồ thị ©.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ©, từ đó suy ra đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ của hàm số $y = \dfrac{{\left| x \right|}}{{\left| x \right| - 1}}$.
b) Dựa vào đô thị$({C_1})$, biện luận theo tham số $m$ số nghiệm $x$ thuộc đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ của phương trình: $\left( {m - 2} \right)\left| x \right| - m = 0$
Câu 2. (5 điểm)
a) Giải phương trình: $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} - 2 = 0$
b) Tìm x,y,z biết
$\left\{ {\begin{array} {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3} \\ {\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = {{\left( {1 + \sqrt[3]{{xyz}}} \right)}^3}} \\\end{array}} \right.$
Câu 3. (5 điểm) Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm E,F sao cho $\dfrac{{BE}}{{BC}} = k$ và$\dfrac{{DF}}{{DC}} = \dfrac{{1 - k}}{{1 + k}}$, với$0 < k < 1$. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF tại H và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh rằng
$\dfrac{{PG}}{{PH}} = \dfrac{{DG}}{{BH}}$
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định và d là đường thẳng quay quanh O. Lấy S ngoài (P) có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với $H \ne O$. Qua S dựng đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi.
Câu 5. (2 điểm) Cho đa thức : $f\left( x \right) = {x^4} - 2011{x^3} + \left( {2010 + a} \right){x^2} - 2009 + a$, với a là số nguyên. Chứng minh rằng đa thức không thể có hai nghiệm nguyên (phân biệt hay trùng nhau).
-HẾT-
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-12-2009 - 21:56
