Chủ đề này có 7 trả lời

[tuan101293]

1,Tìm số nguyên tố p và số nguyên dương x,y thỏa mãn :$x^3+y^3=p^4$
2,Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối tia CA lấy E.Giao điểm của BE với phân giác góc BAC là D.Gọi d là đường thẳng qua điểm D và song song AB,d cắt BC tại F.Giao điểm của AF và BE là M.CMR:M là trung điểm BE.
3,Giải hệ pt sau
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+5}=y^2-\sqrt{y-1}\\ \sqrt{y^2+5}=z^2-\sqrt{z-1}\\ \sqrt{z^2+5}=x^2-\sqrt{x-1}\end{array}\right.$
4,Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $A(-\dfrac{3}{2},0);B(-\dfrac{1}{2},0);C(\dfrac{3}{2},0)$
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn $ \left\{\begin{array}{l}cot(\widehat{AMB}*cot(\widehat{BMC}=1 \\cot(\widehat{AMB}+cot(\widehat{BMC}=3\end{array}\right. $
5.Cho dãy số $u_{n}$ xác định như sau:
$u_{1}=p>0,u_{2}=q>0$
$u_{n+2}=\sqrt[3]{u_{n+1}}+\sqrt[3]{u_{n}}$ với $n\ge 1$
CMR tồn tại $lim u_{n}$ và tìm lim

[hongthaidhv]

1,Tìm số nguyên tố p và số nguyên dương x,y thỏa mãn :$x^3+y^3=p^4$
2,Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối tia CA lấy E.Giao điểm của BE với phân giác góc BAC là D.Gọi d là đường thẳng qua điểm D và song song AB,d cắt BC tại F.Giao điểm của AF và BE là M.CMR:M là trung điểm BE.
3,Giải hệ pt sau
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+5}=y^2-\sqrt{y-1}\\ \sqrt{y^2+5}=z^2-\sqrt{z-1}\\ \sqrt{z^2+5}=x^2-\sqrt{x-1}\end{array}\right.$
4,Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $A(-\dfrac{3}{2},0);B(-\dfrac{1}{2},0);C(\dfrac{3}{2},0)$
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn $ \left\{\begin{array}{l}cot(\widehat{AMB}*cot(\widehat{BMC}=1 \\cot(\widehat{AMB}+cot(\widehat{BMC}=3\end{array}\right. $
5.Cho dãy số $u_{n}$ xác định như sau:
$u_{1}=p>0,u_{2}=q>0$
$u_{n+2}=\sqrt[3]{u_{n+1}}+\sqrt[3]{u_{n}}$ với $n\ge 1$
CMR t?#8220;n tại $lim u_{n}$ và tìm lim

Lời giải:

Bài 1: Phương trình tương đương với $(x+y)((x+y)^2-3xy)=p^4$.
Do$x,\ y \in Z^+ \ => x+y \ \vdots \ p$.
Xét $\left\{\begin{matrix}x+y=p^4\\(x+y)^2-3xy=1\end{matrix}\right.$
Dễ thấy hệ này không có nghiệm nguyên. Vậy $p/(x+y), \ p/xy \ => p/x, \ p/y$
Gọi $d=(x,y)$ Ta cm đc $d=p$. thay vào ta tìm đc nghiệm duy nhất $(x,y,p)=(2,2,2)$.

Bài2: Mình không có cách giải thuần túy mà phải dùng pp tọa độ nên khá dài. Ai có lời giải hình học thì Up lên nha.

Bài 3: chưa giải ra, hi vọng sẽ có lời giải sớm

Bài 4: Dễ dàng cm được $ \widehat{AMC} =90$ Nên $M$ thuộc đường tròn có pt $x^2+y^2=\dfrac{9}{4}$.
Đặt $\alpha= \widehat{AMB}$ Ta cm đc $Sin2\alpha=\dfrac{2}{3}$.
Ta sẽ lập pt đường tròn tâm $I$ đi qua 2 điểm $A, \ B$ và $sin \widehat{AIB}=\dfrac{2}{3}$. thật vậy ta có $I$ thuộc trung trực của $AB => x_I$. Dựa vào góc ta tính đc Khoảng cách $d(I, AB)=y_I$ và bán kính $IA$.
Từ đó tính đc tọa độ $M$.

Cách giải này cũng hơi dài

Bài 5: Dùng pp dãy số con tương tự bài dưới đây:
click here to show solution.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 08-12-2009 - 22:20

[tuan101293]

bài 1 đáp số là (2,2,2) anh ơi.
bài 2 dùng menelauyt anh ơi:anh chứng minh M,trung điểm BC,trung điểm AB thẳng hàng.
bài 3 anh đánh giá $x,y,z>\dfrac{4}{3}$
suy ra $f(x)=x^2-\sqrt{x-1}$ là hàm tăng.
suy ra x=y=z thay vào,xét tiếp pt $g(x)=x^2-\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2+5}$ thì hàm này lại tăng trên đoạn (4/3,+vô cùng) nên nếu có nghiệm thì là nghiệm duy nhất suy ra x=y=z=2
bài 4 anh chỉ cần kẻ song song là ra ngay
bài 5 thì quen roài

[*Thuyanh*]

bài 1 đáp số là (2,2,2) anh ơi.
bài 2 dùng menelauyt anh ơi:anh chứng minh M,trung điểm BC,trung điểm AB thẳng hàng.
bài 3 anh đánh giá $x,y,z>\dfrac{4}{3}$
suy ra $f(x)=x^2-\sqrt{x-1}$ là hàm tăng.
suy ra x=y=z thay vào,xét tiếp pt $g(x)=x^2-\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2+5}$ thì hàm này lại tăng trên đoạn (4/3,+vô cùng) nên nếu có nghiệm thì là nghiệm duy nhất suy ra x=y=z=2
bài 4 anh chỉ cần kẻ song song là ra ngay
bài 5 thì quen roài

Đề TP Hà Nội dễ hơn đề các tỉnh rất nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *Thuyanh*: 08-12-2009 - 11:00

[inhtoan]

1,Tìm số nguyên tố p và số nguyên dương x,y thỏa mãn :$x^3+y^3=p^4$

Giả sử $x=p $
$\Rightarrow y^3=p^3(p-1)$.
Đặt $p=x=k^3+1 (k \in P^+)$
$\Rightarrow y=(k^3+1)k (k \in P^+)$
Mặt khác, ta có:
$p=(k+1)(k^2-k+1)$ với $k \in P^+$
Vì p là số nguyên tố và $k^2-k+1>0$ nên ta có hpt: $\left\{ \begin{matrix} k + 1 = p \\ k^2 - k + 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k = 1 \\ p = 2 \\ \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow y=2, p=2$.
Vậy pt có nghiệm $(x,y,p)$ là $(2,2,2).$

p/s: Đây là trường hợp riêng của bài toán:
Chứng minh với mọi số nguyên $n \geq 2$, phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:
$x^n+y^n=p^{n+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-12-2009 - 21:36

[hongthaidhv]

bài 1 đáp số là (2,2,2) anh ơi.
bài 2 dùng menelauyt anh ơi:anh chứng minh M,trung điểm BC,trung điểm AB thẳng hàng.
bài 3 anh đánh giá $x,y,z>\dfrac{4}{3}$
suy ra $f(x)=x^2-\sqrt{x-1}$ là hàm tăng.
suy ra x=y=z thay vào,xét tiếp pt $g(x)=x^2-\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2+5}$ thì hàm này lại tăng trên đoạn (4/3,+vô cùng) nên nếu có nghiệm thì là nghiệm duy nhất suy ra x=y=z=2
bài 4 anh chỉ cần kẻ song song là ra ngay
bài 5 thì quen roài

Uhm, thanks em nha. Anh cũng mới tìm ra lời giải cho bài 3 còn bài 1 thì anh chỉ đánh nhầm nghiệm thôi.

[- Nguyên Lê -]

2,Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối tia CA lấy E.Giao điểm của BE với phân giác góc BAC là D.Gọi d là đường thẳng qua điểm D và song song AB,d cắt BC tại F.Giao điểm của AF và BE là M.CMR:M là trung điểm BE.

Gọi K là trung điểm của BC.
Do giả thiết DF // AB nên theo định lí Thales ta có:
$\dfrac{KF}{KB}=\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{MF}{MA}\\\Rightarrow\dfrac{KF}{KB-KF}=\dfrac{MF}{MA-MF}\Rightarrow\dfrac{KF}{FC}=\dfrac{MF}{AF}$
Theo Thales đảo => MK // CA hay MK // CE
K là trung điểm của BC => M là trung điểm của BC.

Giả sử $x=z $
$\Rightarrow y^3=z^3(z-1)$.
Đặt $z=x=k^3+1 (k \in Z^+)$
$\Rightarrow y=(k^3+1)k (k \in Z^+)$
Mặt khác, ta có:
$z=(k+1)(k^2-k+1)$ với $k \in Z^+$
Vì z là số nguyên tố và $k^2-k+1>0$ nên ta có hpt: $\left\{ \begin{matrix} k + 1 = z \\ k^2 - k + 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k = 1 \\ z = 2 \\ \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow y=2, z=2$.
Vậy pt có nghiệm $(x,y,z)$ là $(2,2,2).$

Em chưa hiểu lời giải của anh lắm. Tai sao lại giả sử x = z được vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi - Nguyên Lê -: 21-12-2009 - 20:45

[inhtoan]

Em chưa hiểu lời giải của anh lắm. Tai sao lại giả sử x = z được vậy?

Anh gõ nhầm p thành z. Còn việc anh đặt p=z là để tìm ra họ nghiệm tổng quát của phương trình được biểu diễn theo tham số k.

p/s: Em có thể đọc về "phương pháp tham số " (the parametric method) trong cuốn pt diophantine của Titu Andresscu .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-12-2009 - 22:21