1 reply to this topic

[Pirates]

1. Chứng minh rằng: mỗi số nguyên lẻ đồng dư với đúng một số nguyên có dạng $(-1)^{\alpha}5^{\beta}$, trong đó $\alpha = 0$ hoặc $1, \beta$ là số nguyên thỏa mãn $0 \leq \beta \leq 2^{k - 2} - 1$ với $k \geq 3$.

2. Cho đa thức:
$P(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}C_n^{k}a_k^{k}x^{k} , a_k \geq 0 (k = 0, 1, ..., n)$
có các nghiệm đều thực. Chứng minh: $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$.

3. Gọi $a_1, a_2, ..., a_n$ là các cạnh của một đa giác $n$ cạnh. Giả sử $(n - 1)p$ là chu vi của đa giác ấy. Giả thiết thêm rằng $a_i \leq p (i = 1, 2, ..., n)$.
Chứng minh: $\dfrac{n}{n - 1} \leq \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{a_i}{\sum\limits_{k=1 , k \neq i}^{n}a_k} \leq \dfrac{n - 1}{n - 2}$

[Pirates]

Thêm một vài bài:

4. Tìm tất cả các cặp hàm số $f: R -> R$ thỏa mãn điều kiện:
$f(x^{3} + 4y) + f(x + y) = g(x + y) \forall x, y \in R$

5. Cho các số $x, y, z$ dương. Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta đều có:
$x sin\dfrac{A}{2} + y sin\dfrac{B}{2} + z sin\dfrac{C}{2} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{yz}{x} + \dfrac{xy}{z} + \dfrac{zx}{y})$

6. Cho dãy số $a_n$ xác định bởi $a_{n + 1} = \dfrac{a_n^{2} + c}{a_{n - 1}}$. Chứng minh rằng nếu $a_0, a_1$ và $\dfrac{a_0^{2} + a_1^{2} + c}{a_0a_1}$ là số nguyên thì $a_n$ nguyên với mọi $n$.

Edited by Pirates, 20-12-2009 - 16:26.