Chủ đề này có 1 trả lời

[math93]

Tìm tất cả hàm $f:R{\rightarrow}R$ sao cho có hữu hạn điểm bằng 0 thỏa mãn:
$ f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$

[PhepThuat]

Gọi $P(x,y)$ là khẳng định $f(x^4+y) = x^3f(x)+f(f(y))$


$P(0,y) \rightarrow f(y)=f(f(y))$
$P(1,0) \rightarrow f(1)=f(1)+f(f(0)) = f(1)+f(0) \rightarrow f(0) = 0$
$P(x,0) \rightarrow f(x^4) = x^3f(x)$

Ta chứng minh $f(1)$ khác 0
--------------------------------
Giả sử phản chứng .
$P(1,y) \rightarrow f(1+y) = f(1)+f(y)=f(y)$
Quy nạp suy ra $f(n+y) = f(y)$ với mọi n tự nhiên .
Suy ra $f(n) = f(1) = 0$ với mọi n tự nhiên . Mâu thuẫn .

Ta chứng minh $f(x)$ khác 0 với mọi x khác 0
----------------------------------
Giả sử phản chứng . Tồn tại$ f(t) = 0$ với t khác 0 , khác 1 .
Khi đó $ f(t^4) = t^3f(t) = 0$ . Suy ra $f(t^4k)=0$ . Mâu thuẫn .

Ta chứng minh hàm số cần tìm là $ f(x) = x $
-------------------------------
Đặt $u = f(x^4) - x^4$
$x^3f(x) = f(x^4) = f(f(x^4)) = f(u+x^4) = x^3f(x) + f(u)$
Suy ra $ f(u) = 0$ . Suy ra $ u=0$
Suy ra $ f(x) = x$ với $x \geq 0 $
Lại có $x^3f(x) = f(x^4) = -x^3f(-x) $
Suy ra $ f$ lẻ .

Vậy $f(x) = x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhepThuat: 30-12-2009 - 14:13