Chủ đề này có 3 trả lời

[Mr.Tung]

Bài toán
Cho a ,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $ ab + bc + ca = abc $
Chứng minh rằng :
$\dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{ab} +\dfrac{\sqrt{2b^2 + c^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{2c^2 + a^2}}{ac} \geq \sqrt{3}$

Lời giải 1( của mình )
Ta có đk $ ab + bc + ac = abc $ nên $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 $
Áp dụng BDT Cauchy dạng $\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq (\dfrac{a +b +c}{3})^2$
Ta có : $\dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{ab}$ $\geq$ $\sqrt{3}$$(\dfrac{2a +b}{3})$$(\dfrac{1}{ab}) $$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$(\dfrac{2}{b} + \dfrac{1}{a})$
Tương tự với hai bt còn lại rồi cộng vế với vế ta có điều phải chứng mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr.Tung: 31-12-2009 - 12:51

[Mr.Tung]

Lời giải 2_ của bạn mình
Áp dụng BDT Cauchy 3 số ta có : $ 2a^2 + b^2 \geq 3\sqrt[3]{a^4b^2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Tương tự với 2 bt còn lại sau đó ta có là a=b=c
từ đk để bài ta có $ ab + bc + ca = abc $ hay $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$
Kết hợp ta có a =b=c = 3

Suy ra $ \dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{ab}$ $\geq$ $\dfrac{3\sqrt{\sqrt[3]{a^4b^2}}}{ab}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
làm tương tự với 2 bt còn lại rồi cộng vế với vế ta có đpcm !

PS: Cách làm của bạn mình mình nghĩ là sai nhưng chưa biết nói thế nào cho bạn đó hiểu ! Mọi ngưởi xem hộ xem hai cách trên cách nào đúng , cách nào sai và nếu sai thì sai ở đâu !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr.Tung: 31-12-2009 - 12:56

[Janienguyen]

Mình trình bày lại cách 2 nhé
Ta có $ \dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{ab}$ $\geq$ $\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^4b^2}}}{ab}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Cách trên cũng đúng còn cách dưới thì cần bổ sung thêm 1 đoạn nữa thì cũng ok !
$ ab + bc + ca = abc \geq 3 \sqrt[3]{a^2.b^2.c^2 } $
--> $ \sqrt[3]{abc } \geq 3 $
Dùng kq này để đg nốt C2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 31-12-2009 - 19:29

[Toanlc_gift]

Lời giải 2_ của bạn mình
Áp dụng BDT Cauchy 3 số ta có : $ 2a^2 + b^2 \geq 3\sqrt[3]{a^4b^2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Tương tự với 2 bt còn lại sau đó ta có là a=b=c
từ đk để bài ta có $ ab + bc + ca = abc $ hay $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$
Kết hợp ta có a =b=c = 3

Suy ra $ \dfrac{\sqrt{2a^2 + b^2}}{ab}$ $\geq$ $\dfrac{3\sqrt{\sqrt[3]{a^4b^2}}}{ab}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
làm tương tự với 2 bt còn lại rồi cộng vế với vế ta có đpcm !

PS: Cách làm của bạn mình mình nghĩ là sai nhưng chưa biết nói thế nào cho bạn đó hiểu ! Mọi ngưởi xem hộ xem hai cách trên cách nào đúng , cách nào sai và nếu sai thì sai ở đâu !

lời giải này hiển nhiên là sai rồi,cái đẳng thức xảy ra khi a=b=c không phải là để "thay số"