7 replies to this topic

[mileycyrus]

cho a,b,c là 3 số k âm khác nhau từng đôi một thỏa mãn ab+bc+ca = 4.chứng minh rằng:
$ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2} +\dfrac{1}{(a-c)^2} \geq 1 $

Edited by tuan101293, 25-01-2010 - 21:13.

[hoangnbk]

Bài này mình biết 1 cách giải thế này:Giả sử $ a \geq b \geq c$
Ta cần chứng minh $ (ab+bc+ca)( \dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{1}{(b-c)^2} + \dfrac{1}{(c-a)^2}) \geq 4$
dễ thấy $ ab+bc+ca \geq ab$; $ \dfrac{1}{(b-c)^2} \geq \dfrac{1}{b^2} $; $ \dfrac{1}{(c-a)^2} \geq \dfrac{1}{a^2}$
khi đó : $ VT \geq ab( \dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{a^2}) $
Đặt $ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}=x ; x \geq 2 $, khi đó ta có :
$ \dfrac{ab}{(a-b)^2} + \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{x-2} + x = \dfrac{1}{x-2} + (x-2)+1+1 \geq 4 $
đẳng thức khi 1 số bằng 0, 1 số bằng $ \sqrt{5} -1 $ , 1 số bằng $ \sqrt{5}+1$

Edited by hoangnbk, 07-01-2010 - 16:26.

[abstract]

Bài này mình biết 1 cách giải thế này:Giả sử $ a \geq b \geq c$
Ta cần chứng minh $ (ab+bc+ca)( \dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{1}{(b-c)^2} + \dfrac{1}{(c-a)^2}) \geq 4$
dễ thấy $ ab+bc+ca \geq ab$; $ \dfrac{1}{(b-c)^2} \geq \dfrac{1}{b^2} $; $ \dfrac{1}{(c-a)^2} \geq \dfrac{1}{a^2}$
khi đó : $ VT \geq ab( \dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{a^2}) $
Đặt $ a+b =x, ab=y $ r�#8220;i xét hàm số là ra

Ban miley hoc chuyen hoa ak?
Day la bai 4 trong VMO 2008, chuyen hoa ma thi hk cai nay thi khung that!

Edited by abstract, 06-01-2010 - 23:02.

[abstract]

cho a,b,c là 3 số k âm khác nhau từng đôi một thỏa mãn ab+bc+ca = 4.chứng minh rằng:
1 : (a-b)^2 + 1: (b-c)^2 + 1: (a-c)^2 lớn hơn or = 1

Minh co cach nay:
Su dung dang thuc $(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=(x-y)^{2}+2(x-z)(y-z)$ (Cai nay hay dung o S.O.S-Schur ay ma)
Gia su z=min{x,y,z}, ta co
$ \sum \dfrac{1}{(x-y)^{2} }= \dfrac{1}{(x-y)^{2} }+ \dfrac{(y-z)^{2} + (z-x)^{2} }{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}$
$= \dfrac{(x-y)^{2} }{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}+ \dfrac{1}{(x-y)^{2} } + \dfrac{2}{(x-z)(y-z)}$
$ \geq 2 \sqrt{ \dfrac{1}{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}}+ \dfrac{1}{(x-y)^{2} }= \dfrac{4}{(y-z)(x-z)}$
Ta chi can cm: $(y-z)(x-z) \leq xy+yz+zx \Leftrightarrow z^{2} \leq 2yz+2zx$
Mat khac $2yz+2zx \geq 4z^{2} \geq z^{2} \Rightarrow Q.E.D$

[hoangnbk]

Minh co cach nay:
Su dung dang thuc $(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=(x-y)^{2}+2(x-z)(y-z)$ (Cai nay hay dung o S.O.S-Schur ay ma)
Gia su z=min{x,y,z}, ta co
$ \sum \dfrac{1}{(x-y)^{2} }= \dfrac{1}{(x-y)^{2} }+ \dfrac{(y-z)^{2} + (z-x)^{2} }{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}$
$= \dfrac{(x-y)^{2} }{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}+ \dfrac{1}{(x-y)^{2} } + \dfrac{2}{(x-z)(y-z)}$
$ \geq 2 \sqrt{ \dfrac{1}{(y-z)^{2}(z-x)^{2}}}+ \dfrac{1}{(x-y)^{2} }= \dfrac{4}{(y-z)(x-z)}$
Ta chi can cm: $(y-z)(x-z) \leq xy+yz+zx \Leftrightarrow z^{2} \leq 2yz+2zx$
Mat khac $2yz+2zx \geq 4z^{2} \geq z^{2} \Rightarrow Q.E.D$

Cách của e khá hay đấy

[mileycyrus]

thanks mọi ng nha

[Messi_ndt]

Cách của e khá hay đấy

Công nhận mọi người giỏi thật!Hay thì vỗ tay!

[tranvietcuong]

còn cách nào khác không T_T. Mà sao hóa lại giống toán thế