Chủ đề này có 8 trả lời

[*LinKinPark*]

Cho $ a,b,c $ là các số thực không âm thỏa $ a + b + c = 2 $. CMR:
$ \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \le 1 $

[Messi_ndt]

Cho $ a,b,c $ là các số thực không âm thỏa $ a + b + c = 2 $. CMR:
$ \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \le 1 $

Cái này có lời giải khá hay
Giả sử $ a \geq b \geq c$
$ \Rightarrow 0 \leq b^{2}-bc+ c^{2} \leq b^{2} , 0 \leq c^{2}-ca+ a^{2} \leq a^{2}$
$ \Rightarrow VT \leq a^{2} .b^{2} ( a^{2}-ab +b^{2})= \dfrac{4}{9}[ \dfrac{1}{3}( \dfrac{3ab}{2} +\dfrac{3ab}{2}+( a^{2}-ab+ b^{2}))]^{2}$
$ = \dfrac{4}{9}( \dfrac{(a+b)^{2}}{3})^{3} \leq \dfrac{4}{9}( \dfrac{(a+b+c)^{3}}{3})^{3}= \dfrac{4}{9} \dfrac{(a+b+c)^{6}}{27}= \dfrac{4}{9}.\dfrac{ 2^{6} }{27}$
Đẳng thức xảy ra tại a=b=1,c=0 và các hoán vị.
Lời giải ổn chứ.Ai có thể phát biểu bài toán tổng quát được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 31-01-2010 - 21:18

[*LinKinPark*]

Mình thấy có vấn đề rồi, bạn cô si 3 số $ \dfrac{3}{2}ab,\dfrac{3}{2}ab,\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) $ là sai dấu bằng rồi. Hơn nữa, minh thấy ra cũng đâu có đúng đâu

[Messi_ndt]

Mình thấy có vấn đề rồi, bạn cô si 3 số $ \dfrac{3}{2}ab,\dfrac{3}{2}ab,\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) $ là sai dấu bằng rồi. Hơn nữa, minh thấy ra cũng đâu có đúng đâu

Lúc trưa tui online ở quán net nên chỉ nhẩm thui.Mà sai ở đâu vậy?Tui thấy ổn mà

[123455]

Với bài này bạn hãy dùng dồn biến!
Trong cuốn sáng tạo BĐT có bài mạnh hơn!
Với ĐK tương tự thì ta luôn có : $ VT \le \dfrac{2^8}{3^5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123455: 19-01-2010 - 22:40

[*LinKinPark*]

Bạn nào có thể giải rõ ràng ra được không

[Messi_ndt]

Mình thấy có vấn đề rồi, bạn cô si 3 số $ \dfrac{3}{2}ab,\dfrac{3}{2}ab,\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) $ là sai dấu bằng rồi. Hơn nữa, minh thấy ra cũng đâu có đúng đâu

Về hướng làm là như vậy.Bạn tự làm nhaz

[vo thanh van]

Cho $ a,b,c $ là các số thực không âm thỏa $ a + b + c = 2 $. CMR:
$ \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \le 1 $

Anh nghĩ đề em cho không chính xác,nếu ta cho $a=\dfrac{4}{3},b=\dfrac{2}{3},c=0$ thì $VT=\dfrac{256}{243}>1$.
Nếu anh nhớ không nhầm thì anh Hùng có bài toán sau:
Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\le 12$

Tổng quát chút:
Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=k$.Chứng minh rằng:
$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\le \dfrac{4k^6}{3^5}$

[*LinKinPark*]

Hèn gì em giải mãi không ra, riêng 2 bài của anh vothanhvan thì đã có trong STBĐT, em cảm ơn anh.