8 replies to this topic

[nguyet.anh]

cho các số kok âm thỏa mãn $a+b+c=1$CMR:
$\dfrac{a^2+5b}{b+c}+\dfrac{b^2+5c}{c+a}+\dfrac{c^2+5a}{a+b} \ge 8$

[Ho pham thieu]

Nhầm mình tính nhầm, Chỉ cần SD Nesbit và BCS là được.
Sorry, mình sửa lại rùi

Edited by Ho pham thieu, 23-01-2010 - 19:56.

[stargirl]

cho các số kok âm thỏa mãn $a+b+c=1$CMR:
$\dfrac{a^2+5b}{b+c}+\dfrac{b^2+5c}{c+a}+\dfrac{c^2+5a}{a+b} \ge 8$

bài ni chắc là sử dụng điểm rơi
mình thử thấy đc

[tranvietcuong]

tách cái tổng ra thành 5(b/(a+c)....) áp dụng nét bít >= 5.3/2 = 7.5
cái chỗ còn lại schwarz thì >= (a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = 1/2. cộng vào ok
dầu = sảy ra khi a=b=c=1/3

Edited by tranvietcuong, 22-01-2010 - 20:53.

[hoangnbk]

đã định off đến 29/1 rùi nhưng tự dưng lên diễn đàn thấy bài chú Cường làm sai nên pm. Đây nhé.
dễ thấy $ a,b,c $ và $ \dfrac{1}{b+c}, \dfrac{1}{c+a}, \dfrac{1}{a+b} $ là 2 bộ đơn điệu cùng chiều nên theo hoán vị, ta có:
$ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a}+ \dfrac{a}{a+b}$ .
Nesbit là $ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$ chứ ko phải $ \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a}+ \dfrac{a}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$ nhé.
Bài này có lẽ chứng minh bắng cách đưa về dạng thuần nhất:
$ \sym \dfrac{a^2+5b(a+b+c)}{b+c} \geq 8(a+b+c)$ với mọi a,b,c dương
mình ít tg nên tạm chỉ ra chỗ sai của cu Cường, lúc nào rỗi làm bài của nguyet.anh nhé ^^

Edited by hoangnbk, 22-01-2010 - 22:19.

[Toanlc_gift]

cho các số kok âm thỏa mãn $a+b+c=1$CMR:
$\dfrac{a^2+5b}{b+c}+\dfrac{b^2+5c}{c+a}+\dfrac{c^2+5a}{a+b} \ge 8$

sử dụng đẳng thức:
$(a + b + c)\left( {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}}} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + a + b + c$
suy ra:
$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} - 1$
do đó có thể viết lại bđt cần chứng minh dưới dạng:
$\dfrac{{a + 5b}}{{b + c}} + \dfrac{{b + 5c}}{{a + c}} + \dfrac{{c + 5a}}{{a + b}} \ge 9$
do bđt này là thuần nhất nên ta không cần phải chú ý đến giả thiết $a+b+c=1$ nữa
khai triển,bđt tương đương với:
${a^3} + {b^3} + {c^3} + 2({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a) - 3(a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}) \ge 0$
$\Leftrightarrow {(a - b)^2}(2b + a) + {(b - c)^2}(2c + b) + {(c - a)^2}(2a + c) \ge 0$

[nguyet.anh]

lời giải khá hay Toanlc có thể làm lời giải với $k=7$ thay cho số 5 kok

[nguoivn]

Với k=6 thì có một lời giải rất đẹp bằng AM-GM và Cauchy Schwarts. k=9 thì sẽ cần chút tính toán. Bài toán cho hằng số tốt nhất thì em có thể tham khảo tại đây :
http://www.mathlinks...ic.php?t=292347

Edited by nguoivn, 23-01-2010 - 12:10.

[nguyet.anh]

anh nhầm bài rồi!
hình như kok phải anh a`