a,b,c>0. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-04-2012 - 00:01
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-04-2012 - 00:01
Gợi ý: Chuyển BĐT về dạng sau:mình có bài bdt này đã có đề từ lâu mà chưa biêt cách giai
a,b,c>0. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$
Mình nghĩ đầu bài phải là a,b,c là các số không âm vì ngoài xẩy ra tại tâm nó còn xẩy ra tại biên với hai biến bằng nhau
Lời giải
Ta viết bất đẳng thức dưới dạng tương đương sau:
Cm:$\sum \frac{(b+c)^{2}+ab+ac}{2a^{2}+bc}\geq 6$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{(b+c)^{2}+ab+ac}{2a^{2}+bc}-2)\geq 0$
$\sum \frac{(b-a)(2a+b)+(c-a)(2a+c)}{2a^{2}+bc}\geq 0$
$\sum (b-a)(\frac{2a+b}{2a^{2}+bc}-\frac{2b+a}{2b^{2}+ac})\geq 0$
Có $(2a+b)(2b^{2}+ca)-(2b+a)(2a^{2}+bc)=(b-a)(b^{2}+3ab+a^{2}-ca-cb)$
Do đó ta sẽ chứng minh:
$\sum (a-b)^{2}[\frac{a^{2}+3ab+b^{2}-ca-cb}{(2a^{2}+bc)(2b^{2}+ac)}]\geq 0$
$S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$
Trong đó :
$\begin{cases} & \text{ } S_{a}=(2a^{2}+bc)(b^{2}+3bc+c^{2}-ab-ac) \\ & \text{ } S_{b}=(2b^{2}+ac)(a^{2}+3ac+c^{2}-ba-bc) \\ & \text{ } S_{c}=(2c^{2}+ab)(a^{2}+3ab+b^{2}-ca-cb) \end{cases}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NDP: 26-07-2014 - 01:07
$\sqrt{O}$ve math
Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning
mình có bài bdt này đã có đề từ lâu mà chưa biêt cách giai
a,b,c>0. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\geq \frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ac}+\frac{c}{c^2+2ab}+\frac{8abc(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{(a+b+c)^4(ab+bc+ac)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 02-11-2015 - 00:08
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh