Chủ đề này có 6 trả lời

[Lamat]

1. a) Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3. Tìm GTNN của:
$P = \dfrac{(a + b - c)^{3}}{4c} + \dfrac{(b + c - a)^{3}}{4a} + \dfrac{(c + a - b)^{3}}{4b}$

b)Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2.
Cmr: $\dfrac{52}{27} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc < 2$

2. Cho 3 số thực $a, b, c$.
Cmr: $\dfrac{a^{3}}{b(c + a)} + \dfrac{b^{3}}{c(a + b)} + \dfrac{c^{3}}{a(b + c)} \geq \dfrac{1}{2}(a + b + c)$

3. a) Cho $x, y, z$ là 3 số thực thỏa $x + y + z = 1$.
Tìm GTNN của: $P = x^{4} + y^{4} + z^{4} - xyz$

b) Cho các số thực $x, y$ thay đổi thỏa $y \leq 0 , x^{2} + x = y + 12$.
Tìm GTLN, GTNN của: $A = xy + x + 2y + 17$

c) Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 1$.
Tìm GTNN của: $P = \dfrac{x^{2}}{x + y} + \dfrac{y^{2}}{y + z} + \dfrac{z^{2}}{z + x}$

d) Với $0 \leq x , y , z \leq 1$. Tìm GTLN của:
$P = 2(x^{3} + y^{3} + z^{3}) - (x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lamat: 10-02-2010 - 11:40

[Nguyễn Thái Vũ]

Mình giúp bạn câu 3 nhé:
a.Dễ dàng chứng minh đươc $a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)$ thay $a+b+c=1$ vào, đến đây thì đơn giản rồi.
c.Áp dụng Cauchy-Schwart vào P được:
$P>=\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{(x+y+z)}{2}>=\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}=\dfrac{1}{2}$

[Messi_ndt]

1. a) Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3. Tìm GTNN của:
$P = \dfrac{(a + b - c)^{3}}{4c} + \dfrac{(b + c - a)^{3}}{4a} + \dfrac{(c + a - b)^{3}}{4b}$
b)Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2.
Cmr: $\dfrac{52}{27} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc < 2$

Mấy bài này đơn giãn:
$ \dfrac{(a+b-c)^{3}}{4c}+\dfrac{c}{4} +\dfrac{1}{4} \geq \dfrac{3(a+b-c)}{4} $
$ \dfrac{(b+c-a)^{3}}{4a}+\dfrac{a}{4} +\dfrac{1}{4} \geq \dfrac{3(b+c-a)}{4} $
$ \dfrac{(c+a-b)^{3}}{4b}+\dfrac{b}{4} +\dfrac{1}{4} \geq \dfrac{3(c+a-b)}{4} $
$ \Rightarrow VT \geq \dfrac{a+b+c}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$
Ngoài ra ta còn có thể dùng U.C.T hoặc CBS,...
b)Ta có a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác có chu vi =2,nên 0<a,b,c<1.
Ta có:$ o<(1-a)(1-b)(1-c) \leq (\dfrac{3-a-b-c}{3}) ^{3} = \dfrac{1}{27} $
$ \Leftrightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc \leq \dfrac{1}{27} $
$ 1<ab+bc+ca-abc \leq \dfrac{28}{27} \Rightarrow 2< (a+b+c)^{2} -(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2abc) \leq \dfrac{56}{27} \Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 11-02-2010 - 18:55

[Messi_ndt]

2. Cho 3 số thực $a, b, c$.
Cmr: $\dfrac{a^{3}}{b(c + a)} + \dfrac{b^{3}}{c(a + b)} + \dfrac{c^{3}}{a(b + c)} \geq \dfrac{1}{2}(a + b + c)$

$ \dfrac{a^{3}}{b(c+a)} +\dfrac{b}{2} +\dfrac{c+a}{4} \geq \dfrac{3a}{2} $
$ \dfrac{b^{3}}{c(a+b)} +\dfrac{c}{2} +\dfrac{a+b}{4} \geq \dfrac{3b}{2} $
$ \dfrac{c^{3}}{a(c+b)} +\dfrac{a}{2} +\dfrac{c+b}{4} \geq \dfrac{3c}{2} $
$ Q.E.D$

[Ho pham thieu]

Các bài này pp chủ yếu là BDT HOLDER (CBS).

[chi tu]

c) Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 1$.
Tìm GTNN của: $P = \dfrac{x^{2}}{x + y} + \dfrac{y^{2}}{y + z} + \dfrac{z^{2}}{z + x}$

giai
ap dug bdt
ai;bi 0 thi
(ai)^2/bi ( ai)^2/( bi)
sau do dung bdt Bunhiacopxki voi dieu kien ta duoc min P=1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chi tu: 18-02-2010 - 12:54

[chi tu]

c) Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 1$.
Tìm GTNN của: $P = \dfrac{x^{2}}{x + y} + \dfrac{y^{2}}{y + z} + \dfrac{z^{2}}{z + x}$

giai
ap dug bdt
ai;bi 0 thi
(ai)2/bi ( ai)2/( bi)
sau do dung bdt Bunhiacopxki voi dieu kien ta duoc min P=1/2

nhung bai nay chi can dung cac bdt don gian da hoc ko can dung cac bdt phuc tap dau.toan nen dua ve nhung dieu don gian