Chủ đề này có 2 trả lời

[huy11T]

đánh các số tùy ý từ 1 đến 2000 lên một đường tròn
chứng minh rằng có thể chọn 1000 điểm liên tiếp trên đường tròn sao cho có đúng 500 số lẻ, 500 số chẵn

[daihiep]

Mình vẫn chưa hiểu đề lắm !bạn gt được ko?

[chuyentoan]

đánh các số tùy ý từ 1 đến 2000 lên một đường tròn
chứng minh rằng có thể chọn 1000 điểm liên tiếp trên đường tròn sao cho có đúng 500 số lẻ, 500 số chẵn

Gọi các số được đánh theo vòng tròn là $a_1,a_2,...,a_{2000}$. Trong chứng minh này, các chỉ số của $a_i$ luôn được tính theo modulo $2000$. Gọi $S_i$ là các tập hợp được định nghĩa như sau:
$S_i = \{a_i,a_{i+1},..., a_{i + 999}\}$
Và định nghĩa hàm $f(S)$ là hiệu số các phần tử chẵn của trừ đi số các phần tử lẻ của tập $S$.

Xét $f(S_1),f(S_2),...,f(S_{1001})$. Trước hết ta thấy $f(S_i)$ luôn có giá trị chẵn và
Rõ ràng $f(S_1) + f(S_{1001})=0$, do số chẵn và số lẻ trên đường tròn bằng nhau.
Và $S_{i + 1}$ chỉ có thể nhận một trong ba giá trị $S_i,S_i + 2,S_i -2$.
Từ đó suy ra tồn tại một chỉ số $j$ sao cho $S_j=0$, hay bài toán được chứng minh.