2 replies to this topic

[salonpas]

Chứng minh nếu các số thực x,y,a,b thoả mãn điều kiện:x+y=a+b và x^4+y^4=a^4+b^4 thì x^n+y^n=a^n+b^n với mọi n nguyên dương

[vuthanhtu_hd]

Chứng minh nếu các số thực x,y,a,b thoả mãn điều kiện:x+y=a+b và x^4+y^4=a^4+b^4 thì x^n+y^n=a^n+b^n với mọi n nguyên dương

Ta có
$x^4+y^4+(x+y)^4= (x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x+y)^4$
$=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+(x+y)^4$

$=2(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2=2[(x+y)^2-xy]^2$

Tương tự với $a^4+b^4+(a+b)^4$

Ta có $x^4+y^4+(x+y)^4=a^4+b^4+(a+b)^4$

nên $2[(x+y)^2-xy]^2=2[(a+b)^2-ab]^2$

$\rightarrow (x+y)^2-xy=(a+b)^2-ab \rightarrow xy=ab$
Vậy $x+y=a+b,xy=ab$ nên n$x,y$ là nghiệm của PT $t^2-(a+b)t+ab=0 \leftrightarrow t=a$ hoặc $t=b$

Tóm lại $(x,y)$ là hoán vị của $(a,b)$ nên hiển nhiên $x^n+y^n=a^n+b^n$ với mọi $n$ nguyên dương

Edited by vuthanhtu_hd, 21-02-2010 - 21:54.

[Nguyễn Thái Vũ]

Bạn lấy 23 chuyên đề và 1001 bài toán quyển thượng có bài này đấy.