Chủ đề này có 4 trả lời

[hoacomay]

Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại X, Y, Z tương ứng thuộc BC, CA, AB sao cho AX=BY=CZ và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{BAX}=\widehat{CBY}=\widehat{ACZ}. CMR tam giác ABC đều.
(Đề thi HSG Đại học sư phạm 11+12 năm 2000, vòng 1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoacomay: 12-07-2005 - 11:52

[tk14nkt]

Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại X, Y, Z tương ứng thuộc BC, CA, AB sao cho AX=BY=CZ và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{BAX}=\widehat{CBY}=\widehat{ACZ}. CMR tam giác ABC đều.
(Đề thi HSG Đại học sư phạm 11+12 năm 2000, vòng 1)

Bài này hình như là bài toán ngược của bài thi APMO. Theo em có lẽ dùng phương pháp Vecto chăng??

[duantien]

Cái này chú cứ xét hai trường hợp:
TH1: a b c
Áp dụng định lý Sin ta chứng minh và gt ta chứng minh được:
Cos( http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{A+C}{2} + ).Sin( http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{C-A}{2} ) 0
Cos( http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{A+B}{2} + ).Sin( http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{A+C}{2} + ) 0 Cos( + ) C B C=B A=B=C
Th còn lại làm tương tự

[hoacomay]

@ Phuc_nkht: Bài này còn "ngược" được thế nào hả em?
@ duantien: Xin lỗi duantien, nhưng vì đã quên hết lượng giác nên mình không check lời giải của bản được, đành phải nhờ anh em khác làm hộ.

Đây là lời giải:

Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A}=max{http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A},\hat{B},\hat{C}} nên trên cạnh BC lấy được điểm T sao cho BT=AB. Khi đó ABX= BTY (cgc) Trên cạnh AC tồn tại R sao cho RC=BC. Khi đó BCY= CRZ (cgc)
Vậy ABC là tam giác đều.

Lại phiền chuyentoan vẽ hình hộ vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoacomay: 12-07-2005 - 01:31

[tk14nkt]

Đúng thật ra là bài toán này còn có 1 cách giải bằng phương pháp vecto tuy không đẹp mắt. Em nhầm, không phải là bài toán ngược mà là bài toán cải biên .
Tiện đây xin nêu ra một bài tương tự:
Cho tam giác ABC, các điểm X,Y,Z nằm trên 3 cạnh BC,CA,AB sao cho tam giác AYZ và XYZ là các tam giác đều. BY và CZ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng .