có một bài bdt từ IMO shortlist2008 này:
cho a,b,c,d>0 thỏa mãn : abcd=1 và a+b+c+d>=a/b+b/c+c/d+d/a
CMR:a+b+c+d<=b/a+c/b+d/c+a/d
được được này
Bắt đầu bởi huuphong, 09-03-2010 - 10:42
#2
Đã gửi 09-03-2010 - 17:44
*LinKinPark*
-
- Thành viên
-
- 146 Bài viết
Trung sĩ
AM-GM:$\dfrac{1}{{\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bd} }} \ge 2,\dfrac{1}{{\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bd} }} \ge \dfrac{2}{{a + c}} + \dfrac{2}{{b + d}}$
Ta có: $\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) = \left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bd}}} \right)$
$ \ge \dfrac{1}{2}\left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right){\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bd} }}} \right)^2} \ge \left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right)\left( {\dfrac{2}{{a + c}} + \dfrac{2}{{b + d}}} \right)$
$ = 2\left( {a + b + c + d} \right) \ge \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}} \right) + \left( {a + b + c + d} \right)$
Suy ra $a + b + c + d \le \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{b}$
Ta có: $\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) = \left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bd}}} \right)$
$ \ge \dfrac{1}{2}\left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right){\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bd} }}} \right)^2} \ge \left( {b + d} \right)\left( {a + c} \right)\left( {\dfrac{2}{{a + c}} + \dfrac{2}{{b + d}}} \right)$
$ = 2\left( {a + b + c + d} \right) \ge \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}} \right) + \left( {a + b + c + d} \right)$
Suy ra $a + b + c + d \le \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 09-03-2010 - 17:45
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
