Cho a,b>0 thỏa mãn:a+b+ab=3
CMR:$\dfrac{3a}{b+1} +\dfrac{3b}{a+1} + \dfrac{ab}{a+b}\leq a^{2} + b^{2} +\dfrac{3}{2} $
Buon qua!lam cho vui!
Started By phuongpro, 21-03-2010 - 07:00
#1
Posted 21-03-2010 - 07:00
#2
Posted 21-03-2010 - 12:53
ĐK đề bài tương đương với $\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 4$
Viết BĐT cần CM lại thành:
$\dfrac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)}}{4} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le {a^2} + {b^2} + \dfrac{3}{2}$
Đặt $p = a + b,r = ab$, chú ý $p + r = 3$, BĐT cần CM tương đương:
${p^3} - {p^2} + 4p - 12 \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {p - 2} \right)\left( {{p^2} + p + 6} \right) \ge 0$
Hiển nhiên đúng vì $\dfrac{{{p^2}}}{4} + p \ge r + p = 3 \Leftrightarrow {p^2} + 4p - 12 \ge 0 \Rightarrow p \ge 2$
Viết BĐT cần CM lại thành:
$\dfrac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)}}{4} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le {a^2} + {b^2} + \dfrac{3}{2}$
Đặt $p = a + b,r = ab$, chú ý $p + r = 3$, BĐT cần CM tương đương:
${p^3} - {p^2} + 4p - 12 \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {p - 2} \right)\left( {{p^2} + p + 6} \right) \ge 0$
Hiển nhiên đúng vì $\dfrac{{{p^2}}}{4} + p \ge r + p = 3 \Leftrightarrow {p^2} + 4p - 12 \ge 0 \Rightarrow p \ge 2$
Edited by *LinKinPark*, 21-03-2010 - 12:54.
#3
Posted 21-03-2010 - 13:10
Ta có :
$a + b + ab = 3 \Leftrightarrow a + b = 3 - ab \ge 3 - \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4}$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b + 6) \ge 0$
$ \Leftrightarrow a + b \ge 2$
Lại có :
$VT = \dfrac{{3{a^2} + 3a + 3{b^2} + 3b}}{{a + b + ab + 1}} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b}}{4}$
Vậy, ta cần CM :
$3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b \le 4{a^2} + 4{b^2} + 6$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2(a + b + ab) - 4(a + b) \ge 0$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b) \ge 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm
$a + b + ab = 3 \Leftrightarrow a + b = 3 - ab \ge 3 - \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4}$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b + 6) \ge 0$
$ \Leftrightarrow a + b \ge 2$
Lại có :
$VT = \dfrac{{3{a^2} + 3a + 3{b^2} + 3b}}{{a + b + ab + 1}} + \dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b}}{4}$
Vậy, ta cần CM :
$3{a^2} + 3{b^2} + 4a + 4b \le 4{a^2} + 4{b^2} + 6$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2(a + b + ab) - 4(a + b) \ge 0$
$ \Leftrightarrow (a + b - 2)(a + b) \ge 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm
....hoa cười nguyệt rọi cửa lồng gương....
....lạ cảnh buồn thêm nỗi vấn vương....
....tha thướt liễu in hồ gợn sóng....
....hững hờ mai thoảng gió đưa hương....
....lạ cảnh buồn thêm nỗi vấn vương....
....tha thướt liễu in hồ gợn sóng....
....hững hờ mai thoảng gió đưa hương....
#4
Posted 18-04-2010 - 19:28
Bài này là đề thi hsg Sư Phạm mà nhỉ
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users