8 replies to this topic

[hoangnbk]

Bài 1
Cho dãy số $ (U_n): $, $ U_1=1, U_{n+1}= \sqrt{2009U_n+2010} , n \in N*$.
Chứng minh dãy đã cho có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 2
Cho cấp số nhân có tổng ba số hạng đầu bằng 7 và tổng bình phương các số hạng này bằng 21. Tính tổng bình phương 2010 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
Bài 3. Chứng minh giá trị của biểu thức
$ (1+tan1^o)(1+tan2^0)(1+tan3^0)...(1+tan44^0)(1+tan45^0) $
là một số nguyên
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có $ A_1, B_1,C_1,D_1$ lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Các đoạn thẳng $ AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$ có độ dài bằng nhau và cùng đi qua 1 điểm. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật
Bài 5
Có bao nhiêu số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ và có các chữ số đôi một khác nhau.

Thi ngày 27/3/2010, giờ làm bài từ 8h30 đến 11h, địa điểm thi : trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam.
Sáng nay tớ bảo dân sư phạm post đề toán chuyên lên mathscope rùi, nếu có thì sang xem nhé

[inhtoan]

Bài 2
Cho cấp số nhân có tổng ba số hạng đầu bằng 7 và tổng bình phương các số hạng này bằng 21. Tính tổng bình phương 2010 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.

Đặt $u_1, q$ lần lượt là số hạng đầu và công bội của CSN. Theo đề bài ta có:
$\left\{ \begin{matrix} u_1 (q^2 + q + 1) = 7 \\ u_1^2 (q^4 + q^2 + 1) = 21 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_1 (q^2 + q + 1) = 7 \\ u_1 ^2 (q^2 + q + 1)(q^2 - q + 1) = 21 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_1 (q^2 + q + 1) = 7 \\ u_1 (q^2 - q + 1) = 3 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_1 (q^2 + q + 1) = 7 \\ 3q^2 + 3q + 3 = 7q^2 - 7q + 7 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_1 (q^2 + q + 1) = 7 \\ \left[ \begin{array}{l} q = 2 \\ q = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{array}{l} u_1 = 1 \\ q = 2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = 4 \\ q = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{matrix} \right.$
Vậy có 2 CSN thỏa mãn đề bài.
i) Với $u_1=1, q=2$, ta có: $S_{2010} = 2^{2010} - 1$
ii) Với $u_1=4, q=\dfrac{1}{2}$, ta có: $S_{2010} = 4.\dfrac{{1 - \dfrac{1}{{2^{2010} }}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2^{2010} - 1}}{{2^{2007} }}$

[Ho pham thieu]

Đề HN năm nào cũng hay và khó.
bài cuối dùng xác suất được ko nhỉ ?

[inhtoan]

Bài 3. Chứng minh giá trị của biểu thức
$ A=(1+tan1^o)(1+tan2^0)(1+tan3^0)...(1+tan44^0)(1+tan45^0) $
là một số nguyên

Ta có:
$1 + \tan 1^\circ = \dfrac{{\sin 1^\circ + \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ }} = \dfrac{{\cos 89^\circ + \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 44^\circ }}{{\cos 1^\circ }}$

$1 + \tan 2^\circ = \dfrac{{\cos 88^\circ + \cos 2^\circ }}{{\cos 2^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 43^\circ }}{{\cos 2^\circ }}$

$..............$
$1 + \tan 44^\circ = \dfrac{{\cos 46^\circ + \cos 44^\circ }}{{\cos 44^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 1^\circ }}{{\cos 44^\circ }}$

$1 + \tan 45^\circ = \dfrac{{\cos 45^\circ + \cos 45^\circ }}{{\cos 45^\circ }} = 2$

$ \Rightarrow A = 2^{45} \cos ^{44} 45^\circ \dfrac{{\cos 44^\circ \cos 43^\circ ...\cos 2^\circ \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ \cos 2^\circ ...\cos 43^\circ \cos 44^\circ }} = 2^{45} \dfrac{{\left( {(\sqrt 2 )^2 } \right)^{22} }}{{2^{44} }} = 2^{23} $

Vậy biểu thức A là một số nguyên.

Edited by inhtoan, 27-03-2010 - 21:21.

[Janienguyen]

Ta có:
$1 + \tan 1^\circ = \dfrac{{\sin 1^\circ + \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ }} = \dfrac{{\cos 89^\circ + \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 44^\circ }}{{\cos 1^\circ }}$

$1 + \tan 2^\circ = \dfrac{{\cos 88^\circ + \cos 2^\circ }}{{\cos 2^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 43^\circ }}{{\cos 2^\circ }}$

$..............$
$1 + \tan 44^\circ = \dfrac{{\cos 46^\circ + \cos 44^\circ }}{{\cos 44^\circ }} = 2\dfrac{{\cos 45^\circ \cos 1^\circ }}{{\cos 44^\circ }}$

$1 + \tan 45^\circ = \dfrac{{\cos 45^\circ + \cos 45^\circ }}{{\cos 45^\circ }} = 2$

$ \Rightarrow A = 2^{45} \cos ^{44} 45^\circ \dfrac{{\cos 44^\circ \cos 43^\circ ...\cos 2^\circ \cos 1^\circ }}{{\cos 1^\circ \cos 2^\circ ...\cos 43^\circ \cos 44^\circ }} = 2^{45} \dfrac{{\left( {(\sqrt 2 )^2 } \right)^{22} }}{{2^{44} }} = 2^{23} $

Vậy biểu thức A là một số nguyên.

Bài này,đơn giản thì thay $tan45*=1$
Lớp 10 thi tống ngay 1 bài dãy,nhìn kinh k chịu đc,cuối cùng là toàn ôn tổ hợp và lượng.............ai ngờ!ngay cả PT đg trong cũng chưa hoc làm cả giờ ngồi mò,cũng chém nổi 4 bài:(
Bài dãy
Cho dãy $a_0$ xác định bởi:$ta_n+1=27(a_n)^28_+28(a_n)^27$
Chứng minh rằng $a_11$ biểu diễn trong hệ thập phân có nhiều hơn 2010 chứ số 9
Bài vecto sai trầm trọng ,biết ngay là thầy mình ra,thất vọng thảm hại:(

Edited by Janienguyen, 27-03-2010 - 23:08.

[hoangnbk]

Bài 1 là giới hạn khá cơ bản. Có thể dùng quy nạp để chứng minh: $ (U_n)$ là dãy đơn điệu tăng và với mọi n,
$ U_n <2010$. Từ đây suy ra $ (U_n) $ tăng và bị chặn, suy ra tồn tại $ a= lim_{n \to \infty} U_n$.
Khi đó $ a= \sqrt{2009a+2010} \Rightarrow a=2010$
Bài 4 có thể làm theo cách sau: đặt K là giao của các đường $ AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$. Khi đó chứng minh rằng
$ SK \perp (ABCD) $ tại H và $ KA=KB=KC=KD$ suy ra $HA=HB=HC=HD $ do đó là các hình chiếu vuông góc của KA, KB,KC,KD. suy ra điều phải chứng minh
Bài 5 có thể đặt số đó là abcde rồi chia trường hợp a chẵn, xét b,c,d,e có 3 lẻ 1 chẵn và 1 chẵn 3 lẻ. Tương tự với trường hợp a lẻ, kết quả là 3360.
Bài 2 và 3 thì inhtoan làm rùi .
Vớ vẩn quá, năm nay đi thi hồi hộp viết nhầm 23 thành 22 ở bài 3

[hoangnbk]

Bài này,đơn giản thì thay $tan45*=1$
Lớp 10 thi tống ngay 1 bài dãy,nhìn kinh k chịu đc,cuối cùng là toàn ôn tổ hợp và lượng.............ai ngờ!ngay cả PT đg trong cũng chưa hoc làm cả giờ ngồi mò,cũng chém nổi 4 bài:(
Bài dãy
Cho dãy $a_0$ xác định bởi:$ta_n+1=27(a_n)^28_+28(a_n)^27$
Chứng minh rằng $a_11$ biểu diễn trong hệ thập phân có nhiều hơn 2010 chứ số 9
Bài vecto sai trầm trọng ,biết ngay là thầy mình ra,thất vọng thảm hại:(

post cả đề lên em ơi!
Hứ! Em giỏi thật đấy, em quá giỏi, làm anh đợi bao lâu, muộn xe về trường,

[novae]

thi từ 8h30 mà 6h kém đã có đề post lên????

[vo thanh van]

thi từ 8h30 mà 6h kém đã có đề post lên????

05:45PM em à