Chủ đề này có 3 trả lời

[Pirates]

Các lớp THCS

Bài T1/394. Tìm các số tự nhiên $x, y$ biết rằng:
$(2^x + 1)(2^x + 2)(2^x + 3)(2^x + 4) - 5^y = 11879$

Bài T2/394. Cho $n$ là số nguyên dương và kí hiệu $Ư(n) =$ {$d_1; d_2; ...; d_m$} là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $n$. Chứng minh rằng:
$d^{2}_1 + d^{2}_2 + ... + d^{2}_m \leq n^2 \sqrt{n}$

Bài T3/394. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^4 (a + b)} + \dfrac{1}{b^4 (b + c)} + \dfrac{1}{c^4 (c + a)} \geq \dfrac{3}{2}$
trong đó $a, b, c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $abc = 1$.

Bài T4/394. Giải phương trình:
$3\sqrt{x^3 + 8} = 2x^2 - 6x + 4$

Bài T5/394. Cho hình vuông $ABCD, M$ là điểm trên cạnh $CD (M \neq C , M \neq D)$. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $H, BH$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh rằng:
a) $MK$ luôn song song với một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên cạnh $CD$.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADMK$ nằm trên một đường thẳng cố định.

Các lớp THPT

Bài T6/394. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc = 1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{a^3 + 2b^3 + 6}} + \dfrac{1}{\sqrt{b^3 + 2c^3 + 6}} + \dfrac{1}{\sqrt{c^3 + 2a^3 + 6}} \leq 1$

Bài T7/394. Xét các tam giác $ABC$ có $A < B < C < \dfrac{\pi}{2}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M = cot^2 A + cot^2 B + cot^2 C + 2(cot A - cot B)(cot B - cot C)(cot C - cot A)$

Bài T8/394. Cho tam giác $ABC$ với $BC = a, AC = b, AB = c$. Đường thẳng $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác cắt các đường thẳng $AB, AC, BC$ lần lượt tại các điểm $M, N, P$. Chứng minh hệ thức:
$\dfrac{a}{\overline{BP}.\overline{PC}} + \dfrac{b}{\overline{CN}.\overline{NA}} + \dfrac{c}{\overline{AM}.\overline{MB}} = \dfrac{(a + b + c)^2}{abc}$

Tiến tới Olympic Toán

Bài T9/394. Cho $x, y, z$ là các số thực khác $0$, thỏa mãn các điều kiện:
$x + 2y + 3z = 5$ và $2xy + 6yz + 3xz = 8$
Chứng minh rằng:
$1 \leq x \leq \dfrac{7}{3} ; \dfrac{1}{2} \leq y \leq \dfrac{7}{6} ; \dfrac{1}{3} \leq z \leq \dfrac{7}{9}$

Bài T10/394. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{3(x + y)} \\ 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 15y^4 \\ \end{array} \right.$

Bài T11/394. Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:
$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$

Bài T12/394. Giả sử khối tứ diện $ABCD$ thỏa mãn điều kiện: Tất các các mặt của nó là tam giác nhọn và $BC$ vuông góc với $AD$. Gọi $h_a, h_d$ lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ $A, D$ xuống các mặt đối diện, còn $2\alpha$ (với $0^o < \alpha < 45^o$) là số đo nhị diện cạnh $BC$ của tứ diện đó, $d$ là khoảng cách giữa hai cạnh $BC, AD$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_d} \leq \dfrac{1}{d.sin\alpha}$

[novae]

bài T4/394 trùng với bài T2/252 sao đăng lại nhỉ?
bài T12 có mở rộng như sau: $\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_d} \leq \dfrac{1}{d. sin \alpha . sin \phi}$ với là góc giữa BC và AD

[Pirates]

bài T4/394 trùng với bài T2/252 sao đăng lại nhỉ?
bài T12 có mở rộng như sau: $\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_d} \leq \dfrac{1}{d. sin \alpha . sin \phi}$ với là góc giữa BC và AD

Chỗ này chỉ post đề bài còn thảo luận và những ý kiến bạn qua topic "THTT" ở ngoài nhé.

[baby milo]

mấy mod mở đề tháng 2 và trước tháng 2 cho anh em chém nào, topic này nên khóa thui