2 replies to this topic

[Janienguyen]

Cho dãy $(a_n),(b_n)$ Với $a_1=1,b_1=1$
$a_{n+1}= \alpha a_n + \beta b_n $
$b_{n+1}= \alpha b_n + \beta a_n $
Hỏi có bao nhiêu cặp $(\alpha , \beta ) $ thỏa mãn
$a_{2010}= \beta ,b_{2010}= \alpha $

Edited by Janienguyen, 21-04-2010 - 10:41.

[hoangnbk]

Cho dãy $(a_n),(b_n)$ Với $a_1=1,b_1=1$
$a_{n+1}= \alpha a_n + \beta b_n $
$b_{n+1}= \alpha b_n + \beta a_n $
Hỏi có bao nhiêu cặp $(\alpha , \beta ) $ thỏa mãn
$a_{2010}= \beta ,b_{2010}= \alpha $

dễ thấy $ a_{n+1}=b_{n+1}= ( \alpha + \beta )^n \forall a_n, b_n$ ( thế lần lượt vào rùi quy nạp).
Do đó $ a_{2010}=b_{2010}=( \alpha + \beta )^{2009}$. Vậy để thỏa đề bài thì
$ (\alpha + \beta)^{2009}= \alpha=\beta = 2^{2009}. \alpha^{2009}$
đến đây thì biện luận

[Pirates]

Cho dãy $(a_n),(b_n)$ Với $a_1=1,b_1=1$
$a_{n+1}= \alpha a_n + \beta b_n $
$b_{n+1}= \alpha b_n + \beta a_n $
Hỏi có bao nhiêu cặp $(\alpha , \beta ) $ thỏa mãn
$a_{2010}= \beta ,b_{2010}= \alpha $

Bài này chắc Janie suy ra từ bài TNK 1997 phải không...

(TNK 1997) Cho 2 dãy {$a_n$} và {$b_n$} xác định bởi: $a_1 = \alpha, b_1 = \beta, a_{n + 1} = \alpha a_n - \beta b_n, b_{n + 1} = \beta a_n + \alpha b_n$. Hỏi có bao nhiêu cặp $(a, b)$ thỏa: $a_{1997} = b_1, b_{1997} = a_1$.

Đối với bài này thì ta có: $a_{n + 1}^{2} + b_{n + 1}^{2} = (a^2 + b^2)(a^{2}_n + b^{2}_n)$. Theo đề bài thì phải có $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
Tới đây đặt $a = cos\phi, \beta = sin\phi \Rightarrow a_n = cos(n\phi), b_n = sin(n\phi)$.

Bài trên tương tự thôi.