Cho trước tam giác ABC nhọn. Lấy điểm M trong tam giác.
Gọi khoảng cách của M đến 3 cạnh BC, CA, AB la x,y,z.
BC=a, CA=b, AB=c
CMR:
can x + can y + can z =< can [(a^2 + b^2 +c^2)/2R]
Không gõ được căn....... Mong mọi người sửa hộ giùm.......
Bất đẳng thức trong hình học!
Bắt đầu bởi Dezches, 21-04-2010 - 15:43
#2
Đã gửi 21-04-2010 - 17:23
*LinKinPark*
-
- Thành viên
-
- 146 Bài viết
Trung sĩ
Đề: Cho trước tam giác $ABC$ nhọn. Lấy điểm $M$ trong tam giác. Gọi khoảng cách của $M$ đến 3 cạnh $BC, CA, AB$ la $x,y,z$. $BC=a, CA=b, AB=c$. Chứng minh:
$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \le \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $
Giai Ta có: $R = \dfrac{{abc}}{{4S}},x = \dfrac{{2{S_1}}}{a},y = \dfrac{{2{S_2}}}{b},z = \dfrac{{2{S_3}}}{c}$
BĐT cần CM tương đương: $\sqrt {\dfrac{{2{S_1}}}{a}} + \sqrt {\dfrac{{2{S_2}}}{b}} + \sqrt {\dfrac{{2{S_3}}}{c}} \le \sqrt {2S\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}} \right)} $
BCS
$\left[ {\sum {\sqrt {\dfrac{{2{S_1}}}{a}} } } \right] \le \sqrt {\left( {\sum {{S_1}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{2}{a}} } \right)} \le \sqrt {2S\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}} \right)} $ Q.E.D
$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \le \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $
Giai Ta có: $R = \dfrac{{abc}}{{4S}},x = \dfrac{{2{S_1}}}{a},y = \dfrac{{2{S_2}}}{b},z = \dfrac{{2{S_3}}}{c}$
BĐT cần CM tương đương: $\sqrt {\dfrac{{2{S_1}}}{a}} + \sqrt {\dfrac{{2{S_2}}}{b}} + \sqrt {\dfrac{{2{S_3}}}{c}} \le \sqrt {2S\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}} \right)} $
BCS
$\left[ {\sum {\sqrt {\dfrac{{2{S_1}}}{a}} } } \right] \le \sqrt {\left( {\sum {{S_1}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{2}{a}} } \right)} \le \sqrt {2S\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}} \right)} $ Q.E.D
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 21-04-2010 - 18:53
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
