Chủ đề này có 1 trả lời

[Tan Loi]

Giải phương trình lượng giác sau:
cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = $ \dfrac {-1} {2} $

[inhtoan]

Đầu tiên ta tìm công thức tính tổng sau: $S_n = \cos x + \cos 2x + ...\cos nx$.

• Nếu $x=k2\pi, k\in Z$ thì $S_n=n$.
• Nếu $x \neq k2\pi, k\in Z \Leftrightarrow sin\dfrac{x}{2} \neq 0$ thì ta có
  $2\sin \dfrac{x}{2}S_n = (\sin \dfrac{{3x}}{2} - \sin \dfrac{x}{2}) + (\sin \dfrac{{5x}}{2} - \sin \dfrac{{3x}}{2}) + ... + \sin \dfrac{{x(2n + 1)}}{2} - \sin \dfrac{{x(2n - 1)}}{2}$.
  $ = \sin \dfrac{{x(2n + 1)}}{2} - \sin \dfrac{x}{2}$
  $ \Rightarrow S_n = \dfrac{{\sin \dfrac{{x(2n + 1)}}{2} - \sin \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Quay trờ lại bài toán. Giải phương trình: $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = - \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Áp dụng vào bài toán cho trường hợp $n=5$, ta có:
Nếu $x=k2\pi, k\in Z\,\,\,\,\,$ thì $VT(1): \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = 5 \neq VP(1)$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu $x \neq k2\pi, k\in Z$ thì ta có pt ban đầu tương đương với
$\dfrac{{\sin \dfrac{{11x}}{2} - \sin \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}}} = - \dfrac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow \sin \dfrac{{11x}}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m\pi }}{{11}},m \in Z$.
Kết hợp với ta có nghiệm của pt là $x = \dfrac{{2m\pi }}{{11}}, m \neq 11k$ (với $k,m \in Z$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 27-04-2010 - 23:43