đề bài phải là <3 chứ nhỉ
thực ra giá trị nhỏ nhất của VP để BĐT đúng là $e=2.718281828459045....$
ta CM BĐT tổng quát $\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}<e^x$ với x>0 (1) bằng quy nạp theo n
*với n=1:
ta có $e^t>1$ với $t>0 \Rightarrow \int\limits_{0}^{x} e^t dt> \int\limits_{0}^{x} dt$
$ \Rightarrow e^x-1>x \Rightarrow e^x>x+1$
do đó (1) đúng với n=1
*gs (1) đúng đến $n=m$, tức là $\sum\limits_{k=0}^{m} \dfrac{x^k}{k!}<e^x$
lấy tích phân 2 vế BĐT trên như ý trước, ta có (1) đúng đến m+1
vậy theo NLQNTH, ta có đpcm
để CM e là hằng số tốt nhất thì ta dùng khai triển Newton để CM BĐT $\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n< \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} $
kết hợp với BĐT trên, ta suy ra $\lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}=e$
