Chủ đề này có 4 trả lời

[caodattoanvip]

Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1.chứng minh:
ab+bc+ca >= 4(a^2.b^2+b^2.c^2+c^2a^2) + 5abc

[NightBaron]

Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1.chứng minh:
ab+bc+ca >= 4(a^2.b^2+b^2.c^2+c^2a^2) + 5abc

Bài này chỉ cần $a,b,c\geq 0; a+b+c=1$ là đủ.

Đặt: $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r$ thì $p=1; q\leq \dfrac{1}{3}$ va BDT tương đương:

$-4q^2+q+3r\geq 0$ (1)

TH1: Nếu $q\leq\dfrac{1}{4}$ thì: $VT_{(1)}\geq q-4q^2=q(1-4q)\geq 0$ Đúng $\forall q\in (0;\dfrac{1}{4}]$

TH2: Nếu $q\in (\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}]$. Sử dụng BDT Schur bậc 3 ta có:

$r\geq\dfrac{p(4q-p^2)}{9}=\dfrac{4q-1}{9}>0$

$\Rightarrow VT_{(1)}\geq -4q^2+q+3.\dfrac{4q-1}{9}$

$4q^2+q+3.\dfrac{4q-1}{9}\geq 0$

$\Leftrightarrow (q-\dfrac{1}{4})(\dfrac{1}{3}-q)\geq 0$ (Đúng $\forall q\in (\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4}]$)

$\Rightarrow Q.E.D$

Đẳng thức nếu chỉ nếu: $(a,b,c)=(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3})$ hoặc $(a,b,c)=(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0)$ và các hoán vị!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 22-08-2010 - 09:52

[dark templar]

Cách khác :
Đặt$ S=ab+bc+ca(0<S \leq 1/3)$
BĐT$ \Leftrightarrow S \geq 4S^2 -3abc \Leftrightarrow 3abc \Leftrightarrow 4S^2 -S$
Lại có $abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$(AM-GM)
$\Leftrightarrow abc \geq (1-2a)(1-2b()1-2c)(a+b+c=1)$
$\Leftrightarrow abc \geq 1-2(a+b+c)+4S-8abc$
$\Leftrightarrow 9abc \geq 4S-1$
$ \Leftrightarrow 3abc \geq 4S-1$
Ta sẽ CM:$4S-1 \geq 4S^2 -S$
$ \Leftrightarrow 12S^2 -7S+1 \leq 0$(luôn đúng với $0<S \leq 1/3$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-11-2010 - 20:44

[CD13]

Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1.chứng minh:
$ab+bc+ca >= 4(a^2.b^2+b^2.c^2+c^2a^2) + 5abc$

[No Problem]

Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1.chứng minh:
ab+bc+ca >= 4(a^2.b^2+b^2.c^2+c^2a^2) + 5abc

Bài đơn giản mà cần gì phải nặng tay thế, AM-GM thôi
$(ab+bc+ca)(a+b+c)^2\ge 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+5abc(a+b+c)$
$\sum \ ab(a^2+b^2)\ge 2\sum a^2b^2$