Cực trị của hàm số
#1
Posted 22-08-2010 - 09:28
Bài toán: Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = {x^4} + m{x^2}$
tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
#2
Posted 22-08-2010 - 10:11
$1^0.$ Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại $x=0$ là $f'(0)=0 $. Điều này đúng với mọi m.
$2^0.$ Điều kiện đủ, xét đạo hàm bậc 2 ta có $f''(x)=12x^2+2m$;
Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$.
Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $m<0$.
#3
Posted 23-08-2010 - 18:30
Lời giải:
Đạo hàm $y'=4x^{3}+2mx$, mọi x thuộc R
+ Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là $f'(0)=0$. Điều này đúng với mọi m
+ Điều kiện đủ, đạo hàm cấp 2: $f''(x)=12x^{2}+2m$;
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 thì $f''(0)=2m>0$ m > 0.
Nếu cho lời giải tương tự ta được: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 khi và chỉ khi m >0.
Bạn hãy xét với m = 0. Hàm số trở thành $y = x^{4}$ Lúc đó $y'=4x^{3}$. Ta có y'<0 với x<0 và y'>0 với x>0. (Lập bảng xét dấu). Nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Giải theo cách trên thì còn thiếu trường hợp m = 0
Edited by thanhthaiagu, 23-08-2010 - 18:32.
#4
Posted 23-08-2010 - 21:41
Hoặc tham khảo lại kiến thức ở đây: http://www.slideshar...phan-ii-cuc-tri
Nhắc lại cho nhớ:
1. Điều kiện cần để hàm số đat cực trị
Định lý: Hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và ]$f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f'(x_0)=0$
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Dấu hiêu 1: Các bạn đọc ở link trên
Dấu hiêu 2:
+) $\left\{ \begin{array}{l} f'({x_0}) = 0 \\ f''({x_0}) < 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$
+)$\left\{ \begin{array}{l} f'({x_0}) = 0 \\ f''({x_0}) > 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$
Đây là đk đủ ko phải là cần và đủ nên vẫn có TH $f(x)$ đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó ko tồn tại $f''(x)$ hoặc $ f''(x)=0$
Mấy điều này rất dễ nhầm lẫn đó.
Trở lại bài trên, phải làm thế này.
$f(x)=x^4+mx^2$
$f'(x)=4x^3+2mx$ với mọi x thuôc R
Do $f'(0)$ tồn tại nên $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ thì $f'(0)=0$ ( Theo đúng tinh thần đinh lý) . Điều này là đúng với mọi m.
Ta có $f''(x)=12x^2+2m$ với mọi x thuộc R
Do $f''(0)$ có tồn tại nên ta chỉ phải xét 2 TH $f''(0) =0$ hoặc $f'(0)>0$.
+) Xét m>0, ta có
$\left\{ \begin{array}{l} f'({0}) = 0 \\ f''({x_0}) >0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow $ $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$
+) Xét m=0, ta có $ f'(x)=x^4$
$f'(x)=4x^3$ => Lập bảng biến thiên => x=0 là điểm cực tiểu của hàm số
Kết luận: Đk cần tìm là $ m \ge 0$
Edited by dehin, 23-08-2010 - 22:11.
#5
Posted 23-08-2010 - 23:31
Đúng là mình nhầm thật...hơi chủ quan phần này nên chưa nắm chắc lí thuyết .Bạn inhtoan nên xem lại khái niệm về cực trị từ khái niệm ban đầu của nó đến các định lý về cực trị trong SGK. Nhât là để ý các có chữ cần, đủ, cần và đủ ko ?
#6
Posted 29-08-2010 - 09:49
Edited by thanhthaiagu, 29-08-2010 - 09:52.
#7
Posted 20-03-2011 - 01:38
vấn đề bạn đưa ra cũng rất hay ! sẽ nhiều người thiếu trường hợp như thế ! theo tôi thì vấn đề là chỗ f''(x) ! nếu nói thêm là: trường hợp m=0 làm cho f''(x) không đổi dấu thì dẫn tới kq đúng=> ok
#8
Posted 23-03-2011 - 22:44
điều kiện đủ ở đây bạn dùng chưa chính xác: "Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$."Ta có $f'(x)=4x^3+2mx$, với mọi $x \in R$.
$1^0.$ Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại $x=0$ là $f'(0)=0 $. Điều này đúng với mọi m.
$2^0.$ Điều kiện đủ, xét đạo hàm bậc 2 ta có $f''(x)=12x^2+2m$;
Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $f''(0)=2m<0 \Leftrightarrow m <0$.
Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $m<0$.
nếu thay vào f''(0) ta được hằng số âm thì đó là đủ để kết luận hs đạt cực đại tại x=0.còn ở đây bắt f''(0)<0 để f đạt cực đại tại x=0 thì đó là điều kiện cần rồi.
#9
Posted 14-08-2013 - 15:56
theo tôi nghĩ bài này giải quyết như bạn chem gió thần là tối ưu nhất
Nguyễn Trần Phương Trình
#11
Posted 10-12-2017 - 01:20
Edited by habaomy, 10-12-2017 - 02:10.
#12
Posted 10-12-2017 - 02:10
#thedarkness110Đến các thầy còn nhầm lẫn thế này chúng em trình bày sao tránh khỏi thiếu sót ! Cảm ơn các thầy nhiều ạ
Ngoài ra cho em hỏi là ngoài cách dùng đạo hàm bậc 2 ra thì còn cách nào khác không ạ ?
Bạn có thể dùng bảng biến thiên, ví dụ tìm đk m để hs ở trên đạt cực tiểu tại x = 0:
y'= 4x^3 +2mx = x.(4x^2 +2m)
y'= 0 khi chỉ khi x=0 hoặc 4x^2 +2m =0
Để ... thì pt 4x^2 +2m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ( denta <=0) vì nếu có 2 nghiệm pb thì tại x = 0 là cực đại(dựa vào BBT) suy ra m >=0
Tương tự nếu tìm đk để tại x=0 hs đạt cực đại thì pt(1) có 2 nghiệm pb( dựa vào bbt) với đk 2 nghiệm đó khác nghiệm x=0( vì nếu 1 trong 2 nghiệm bằng 0 thì hs y'qua x=0 không đổi dấu) từ đó giải ra được m<0
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users