Chủ đề này có 3 trả lời

[Messi_ndt]

Cho tam giác ABC có $a+b=\tan\dfrac{C}{2}\left( a\tan A+b\tan B\right)$.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

[CD13]

Ta có: $\,\tan \dfrac{C}{2} = \cot \dfrac{{A + B}}{2}$
Đề bài viết lại:

$\begin{array}{l} (a + b)\tan \dfrac{{A + B}}{2} = a\tan A + b\tan B \\ \Leftrightarrow a\left( {\tan A - \tan \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = b\left( {\tan \dfrac{{A + B}}{2} - \tan B} \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{{a\sin \left( {A - \dfrac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\cos A\cos \dfrac{{A + B}}{2}}} = \dfrac{{b\sin \left( {\dfrac{{A + B}}{2} - B} \right)}}{{\cos B\cos \dfrac{{A + B}}{2}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{a\sin \dfrac{{A - B}}{2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{b\sin \dfrac{{A - B}}{2}}}{{\cos B}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0 \\ \sin \left( {A - B} \right) = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Đến đây mình pó tay!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 24-08-2010 - 19:56

[Messi_ndt]

Lời giải của mình.
Ta co: $p = \dfrac{a + b+c}{2},S=\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\tan{\dfrac{C}{2}}=\sqrt{\dfrac{\sin^2\dfrac{C}{2}}{\cos^2\dfrac{C}{2}}} = \sqrt{\dfrac{1-\cos{C}}{1+\cos{{C}}}=$
$=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{1+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}} = \sqrt{\dfrac{c^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-c^2}} = \sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}$
Va $a\tan{A} + b\tan{B} = \dfrac{a\sin{A}}{\cos{A}}+\dfrac{b\sin{B}}{\cos{B}}= a.\dfrac{a}{2R}.\dfrac{2bc}{b^2+c^2-a^2}+b.\dfrac{b}{2R}.\dfrac{2ac}{a^2+c^2-b^2}$

$= \dfrac{abc}{R}.\left( \dfrac{a}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{b}{a^2+c^2-b^2} \right )=4S.\dfrac{(a^3+b^3)+(ac^2+bc^2)-(ab^2+ba^2)}{(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)}$

$=4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\dfrac{(a+b)[(a-b)^2+c^2]}{c^4-(a^2-b^2)^2}$

Nen $a+b=\tan{\dfrac{C}{2}}.(a\tan{A}+b\tan{B}) \Longleftrightarrow a+b = 4(p-a)(p-b).\dfrac{(a+b)[(a-b)^2+c^2]}{c^4-(a^2-b^2)^2}$

$ \Longleftrightarrow 1=(b+c-a)(a+c-b).\dfrac{[(a-b)^2+c^2]}{c^4-(a^2-b^2)^2}$

$\Longleftrightarrow 1=[c^2-(a-b)^2].\dfrac{[(a-b)^2+c^2]}{c^4-(a^2-b^2)^2}$

$\Longleftrightarrow 1=\dfrac{c^4-(a-b)^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}$

$\Longleftrightarrow (a-b)^4=(a-b)^2.(a+b)^2 \Longleftrightarrow a = b \Longleftrightarrow ABC$ la tam giac deu.

[dehin]

Ta có: $\,\tan \dfrac{C}{2} = \cot \dfrac{{A + B}}{2}$
Đề bài viết lại:

$\begin{array}{l} (a + b)\tan \dfrac{{A + B}}{2} = a\tan A + b\tan B \\ \Leftrightarrow a\left( {\tan A - \tan \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = b\left( {\tan \dfrac{{A + B}}{2} - \tan B} \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{{a\sin \left( {A - \dfrac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\cos A\cos \dfrac{{A + B}}{2}}} = \dfrac{{b\sin \left( {\dfrac{{A + B}}{2} - B} \right)}}{{\cos B\cos \dfrac{{A + B}}{2}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{a\sin \dfrac{{A - B}}{2}}}{{\cos A}} = \dfrac{{b\sin \dfrac{{A - B}}{2}}}{{\cos B}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0 \\ \sin \left( {A - B} \right) = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Đến đây mình pó tay!

Biến đổi của bạn rất tốt. Ngắn gọn, hay.
Sao đến đoạn cuối rồi còn bó tay.
${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0} \\ {\sin \left( {A - B} \right) = 0} \\\end{array} \Rightarrow A = B} \right.}$
=> Tam giác ABC cân tại C