9 replies to this topic

[AnSatTruyHinh]

Cho $a,b,c>0: a^2+b^2+c^2=3$.CMR
$\sum{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}}\ge 3$

[NightBaron]

Cho $a,b,c>0: a^2+b^2+c^2=3$.CMR
$\sum{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}}\ge 3$

Ta sẽ cm BĐT sau:

$\sum\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\geq\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

$\Leftrightarrow \sum[\dfrac{a^2+b^2}{a+b}-\dfrac{a+b}{2}]\geq\sum[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)]$

$\Leftrightarrow S_c(a-b)^2+S_a(b-c)^2+S_c(c-a)^2\geq 0$ (1)

Trong Đó:

$S_a=\dfrac{1}{2(b+c)}-\dfrac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c}\\ S_b=\dfrac{1}{2(a+c}-\dfrac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c}\\ S_c=\dfrac{1}{2(a+b)}-\dfrac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c}$

Để ý rằng: $\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c$ (Cauchy-Schwarz)

Nên dễ thấy $S_a, S_b, S_c > 0\Rightarrow (1)$ đúng!

$\Rightarrow Q.E.D$

Edited by NightBaron, 25-08-2010 - 16:31.

[AnSatTruyHinh]

Ta có thể sử dụng Cauchy-Schwarz để chứng minh một kết quả mạnh hơn là với $ a,b,c>0 $ thì:
$ \dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \ge \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}+\dfrac{a+b+c}{2} $

Bạn cho mình lời giải với

[AnSatTruyHinh]

Đây là lời giải của thầy giáo mình
$\sum{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}}\ge 3\Leftrightarrow \sum{(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}-\dfrac{a+b}{2})}\ge 3-\sum{a}$
$\Leftrightarrow \sum{\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}}\ge \dfrac{9-(\sum{a})^2}{3+\sum{a}}=\dfrac{\sum{(a-b)^2}}{3+\sum{a}}$
$\Leftrightarrow \sum{(a-b)^2.(\dfrac{1}{2(a+b)}-\dfrac{1}{3+\sum{a}})\ge 0$
$\Leftrightarrow \sum{(a-b)^2.\dfrac{2c+3-\sum{a}}{2(a+b)(3+\sum{a})}}\ge 0$
Đúng

Edited by AnSatTruyHinh, 25-08-2010 - 19:05.

[hp9570]

Sao k nhìn thấy gì hết vây!

[AnSatTruyHinh]

Sao thầy giáo bạn giỏi thế. Bạn viết ra tôi đọc chẳng hiểu gì cả

Hmm.Bạn chú ý lời nói một chút.Hơn nữa cái thể loại viết ra được $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\le (ac+bd)^2$ thì hiểu làm sao được.

[hp9570]

Một bđt tương tự
Cho a,b,c>0.CMR
$\sum{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}} \leq 3\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$
Chứng minh bđt này cũng ko khó lắm!

[Ho pham thieu]

Bài này trên THTT có rùi
Tìm trong Tuyển chọn theo chuyên đề THTT quyển 3, Bài 21 phần 100 đề toán hay.

[hp9570]

Vậy àh? Mình ko biết. Hồi học lớp 9 cô giáo cho làm rùi. Cũng ko khó lắm