Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 03-01-2012 - 21:31
Cho $a^2+b^2+c^2=a^3+c^3+b^3=1$. Tính $$a^{11}+b^{21}+c^{2011}$$
Bắt đầu bởi quoctrungtrinh, 29-08-2010 - 11:14
#1
Đã gửi 29-08-2010 - 11:14
quoctrungtrinh
-
- Thành viên
-
- 53 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $a^2+b^2+c^2=a^3+c^3+b^3=1$. Tính $a^{11}+b^{21}+c^{2011}$
CON ĐƯỜNG DẪN ĐẾN MỌI THÀNH CÔNG LÀ: QUYẾT TÂM
#2
Đã gửi 31-08-2010 - 16:29
Nguyễn Thái Vũ
-
- Thành viên
-
- 684 Bài viết
Thiếu úy
lâu lâu không ai làm thì mình làm vậy:
Ta có: từ điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$ suy ra a,b,c đều không lớn hơn 1. Suy ra $a-1\leq 0, b-1 \leq 0 , c-1 \leq 0$(1)
Từ $a^2 +b^2+c^2=a^{3}+b^{3}+c^{3} \rightarrow a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)=0$ mà ta có (1) nên $a^2(a-1) \leq 0, b^2(b-1) \leq 0, c^2(c-1) \leq 0$ suy ra $a^2(a-1)=0,b^2(b-1)=0,c^2(c-1)=0$. Xảy ra các trường hợp:
- a,b,c=0
-hai trong 3 số bằng 1 ,số còn lại bằng 0.
- cả 3 số bằng 1.
- 1 số bằng 1, 2 số bằng 0.
Trong 3 TH trên chỉ có trường hợp cuối cùng thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$
Suy ra $a^{11}+b^{21}+c^{2011}=1$
Ta có: từ điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$ suy ra a,b,c đều không lớn hơn 1. Suy ra $a-1\leq 0, b-1 \leq 0 , c-1 \leq 0$(1)
Từ $a^2 +b^2+c^2=a^{3}+b^{3}+c^{3} \rightarrow a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)=0$ mà ta có (1) nên $a^2(a-1) \leq 0, b^2(b-1) \leq 0, c^2(c-1) \leq 0$ suy ra $a^2(a-1)=0,b^2(b-1)=0,c^2(c-1)=0$. Xảy ra các trường hợp:
- a,b,c=0
-hai trong 3 số bằng 1 ,số còn lại bằng 0.
- cả 3 số bằng 1.
- 1 số bằng 1, 2 số bằng 0.
Trong 3 TH trên chỉ có trường hợp cuối cùng thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$
Suy ra $a^{11}+b^{21}+c^{2011}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Thái Vũ: 31-08-2010 - 16:29
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
