Chủ đề này có 7 trả lời

[supaman]

1) Chứng minh:
$(1+ \dfrac{1}{n} )^{n} \leq (1+ \dfrac{1}{n+1} )^{n+1} \forall n\in N$

2) CM:
$1.3.5...(2n-1)$ nhỏ hơn $ n^{n} \forall n\in Z^{+} $

3) Cho 3 số dương a,b,c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
$A= \dfrac{bc}{a^{2}b + a^{2}c} + \dfrac{ca}{b^{2}c + b^{2}a} + \dfrac{ab}{c^{2}a + c^{2}b}$

[nguyen thai phuc]

3) Cho 3 số dương a,b,c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
$A= \dfrac{bc}{a^{2}b + a^{2}c} + \dfrac{ca}{b^{2}c + b^{2}a} + \dfrac{ab}{c^{2}a + c^{2}b}$

$\displaylines \sum {\dfrac{{bc}}{{a^2 b + a^2 c}}} = \sum {\dfrac{{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^2 }}{{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}} \ge \dfrac{{\left( {\sum {\dfrac{1}{a}} } \right)^2 }}{{2\sum {\dfrac{1}{a}} }}} = \dfrac{1}{2}\sum {\dfrac{1}{a}} \ge \dfrac{3}{2}$

[khacduongpro_165]

3) Cho 3 số dương a,b,c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
$A= \dfrac{bc}{a^{2}b + a^{2}c} + \dfrac{ca}{b^{2}c + b^{2}a} + \dfrac{ab}{c^{2}a + c^{2}b}$
[/quote]
đặt a=x/y, b=y/z, c=z/x cũng giải được thôi!

[hp9570]

bài 2 hình như có trong sách tham khảo

[h.vuong_pdl]

Bài 2) dễ thôi mak:
$VT = 1.3.5...(2n-1) = \dfrac{(2n)!}{2^n.n!} < n^n //<=> n(n+1)(n+2)...(2n) < (2n)^n$
hiển nhiên 2n > n+k (với k:leq n)
vậy ta có ngay đpcm ???

[supaman]

Hix ai giúp em với. Mà mấy bài này thầy em bảo chỉ dùng kiến thức cấp 2 thôi ...

[leviethai1994]

Bài 1 thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n+1$ số:

$\left( {n + 1} \right)\sqrt[{n + 1}]{{1.\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)...\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}} < 1 + n\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) = n + 1 + 1$

$ \Rightarrow {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} < {\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}}$

[h.vuong_pdl]

Hix ai giúp em với. Mà mấy bài này thầy em bảo chỉ dùng kiến thức cấp 2 thôi ...

Mình không hiểu bạn muốn kiến thức cơ bản của cấp 2 như thế nào nữa, vì quả thực các BDT trên đều là các BDT của cấp 2 cả thôi mak ??
ở bài 3 nói là BDT của cấp 2 cũng không đứng nhưng để Cm nó thì chỉ dùng kt cấp 2 thôi ????
ở đó bạn nguyenthaiphuc dùng BDT Cauchy-Schwarz:
$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} + \dfrac{c^2}{z} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Cm: Ap dung bunhiacopski:
$(x+y+z)(\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} + \dfrac{c^2}{z}) \ge (a+b+c)^2$ => dpcm !
còn bài 1) BDT AM-GM chính là BDT Cô-si ??? (tên quốc tế của nó là như thế ???)

p/s: nhìn anh nguyenthaiphuc giải như thế có vẻ hơi pức tạp nhưng đúng rồi đó ???
nếu bạn thấy rườm rà thì có thể đặt x=1/a, y = 1/b, z = 1/c, khi đó xyz = 1
cần Cm: $\dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y} \ge \dfrac{3}{2}$

sau đó áp dụng BDT Cauchy-Schwarz như trên hoặc có thể áp dụng đơn giản cô-si như sau:
ta sẽ Cm: $\dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y^2}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y} \ge \dfrac{x+y+z}{2} $

cach 1) ap dung co-si:
$\dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y+z}{4} \ge x, $
lập các BDT tương tự => đpcm
lại chú ý với xyz = 1 thì $x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz} = 3$
Cách 2) Áp ụng đẳng thức sau:
$\dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y^2}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y} + x + y+z = (x+y+z)(\dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y}) \ge \dfrac{3(x+y+z)}}{2}$
vi ap dung BDT nesbitt
$\dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y} \ge \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 15-09-2010 - 20:17