Chủ đề này có 1 trả lời

[inhtoan]

1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm $ x \in [\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$:
$2 +2sin2x=m(1+cosx)^2$

2. Giải phương trình $(8cos^36x+1)^3=126cos6x-27$.

[E. Galois]

1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm $ x \in [\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$:
$2 +2sin2x=m(1+cosx)^2$

2. Giải phương trình $(8cos^36x+1)^3=126cos6x-27$.

Ta có:

$PT \Leftrightarrow m = \dfrac{{2 + 2\sin 2x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)^2 }} \Leftrightarrow m = 2\left( {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2 $

Đặt

$f(x) = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \cos x}}$

ta có:

$f'(x) = \dfrac{{\cos x - \sin x + 1}}{{\left( {1 + \cos x} \right)^2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + 1}}{{\left( {1 + \cos x} \right)^2 }} \ge 0,\forall x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] $

Từ đó

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} f(x) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} f(x) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1;$

Vì $m = 2\left[ {f(x)} \right]^2 $ nên yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:

$0 \le m \le 2 $

CHÚC BẠN SINH NHẬT VUI VẺ