Chủ đề này có 7 trả lời

[xuanquang29113]

Đề rất hay và bổ ích.

File gửi kèm

•  VMO2010.doc   55.5K   217 Số lần tải

[h.vuong_pdl]

Anh em chém bài BDT trong đề này đê:
Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3 + \dfrac{(c-a)^2}{ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 08-10-2010 - 19:35

[novae]

không biết có được giả sử $b=\max\{a,b,c\}$ không nhỉ , cứ giả sử xem sao
ta có $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
ta chỉ cần cm bđt $\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\ge 3+\dfrac{(c-a)^2}{ab+bc+ca}\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\ge 0$, luôn đúng

[xuanquang29113]

không biết có được giả sử $b=\max\{a,b,c\}$ không nhỉ , cứ giả sử xem sao
ta có $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
ta chỉ cần cm bđt $\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\ge 3+\dfrac{(c-a)^2}{ab+bc+ca}\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\ge 0$, luôn đúng

Vậy bạn thử làm bài toán trong trường hợp a = max {a,b,c} xem sao

[h.vuong_pdl]

Anh novae nhầm rồi, không có thể giả sử b = max{a;b;c} được do vai trò của a,b,c không như nhau mà ????

Nhưng anh làm như trên có lẽ cũng kiếm được tí điểm công ?????????

[xuanquang29113]

Anh novae nhầm rồi, không có thể giả sử b = max{a;b;c} được do vai trò của a,b,c không như nhau mà ????

Nhưng anh làm như trên có lẽ cũng kiếm được tí điểm công ?????????

Làm gì có chuyện kiếm được tí điểm hả bạn, trong những kì thi lớn thì việc chấm thi đuợc đặt lên hàng đầu , hơn nữa lời giải trên sai hoàn toàn về mặt logic nên đưa nhiên sẽ không được điểm

[NightBaron]

Anh em chém bài BDT trong đề này đê:
Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3 + \dfrac{(c-a)^2}{ab+bc+ca}$

Đây là lời giải của mình cho BDT khó chịu này:

TH1: Nếu $b$ không nằm trong đoạn $a,c$. Đây là trường hợp dễ cm nhất! Có thể tham khảo lời giải của anh Novae.


Để ý ta có phân tích sau:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-3=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}$.

Do do BDT tuong duong voi:

$\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(c-a)^2}{ca}+\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{bc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}\ge \dfrac{3(a-c)^2}{ab+bc+ca} (1)$

TH2: Nếu $c\ge a\ge b>0$.

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

$\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(a-c)^2}{ca}\ge \dfrac{(a-b+b-c+a-c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{4(a-c)^2}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{3(a-c)^2}{ab+bc+ca}$.

Vay chi can cm:$\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{bc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}\ge 0$

$\Leftrightarrow c(a-b)^2+(c-a)(a-b)(b-c)+b(c-a)(c-b)\ge 0$ (Đúng)

TH3:

3.1: Neu: $2ac\ge ab+bc$.

De thay: $a-c\ge a-b; a-c\ge b-c (I)$. Suy ra:

$\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}\ge \dfrac{(a-b)^2}{ab}; \dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}\ge \dfrac{(b-c)^2}{bc};\dfrac{(c-a)^2}{ac}\ge\dfrac{(b-c)(a-b)}{bc}$

$\Rightarrow VT(1)\ge \dfrac{2(a-b)^2}{ab}+\dfrac{2(b-c)^2}{bc}\ge \dfrac{2(a-c)^2}{ab+bc}( Cauchy-Schwarz)$

Mat khac:

$ \dfrac{2(a-c)^2}{ab+bc}\ge\dfrac{3(a-c)^2}{ab+bc+ca}\Leftrightarrow 2ac\ge ab+bc (True)$.

3.2: Neu $ab+bc>2ac\Rightarrow b>\dfrac{2ac}{a+c}$.

$\Rightarrow \dfrac{(a-c)^2}{ac}\ge \dfrac{3(a-c)^2}{ab+bc+ac}$.

Vay ta chi can cm:

$\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{bc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}\ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)}{bc}$.

Theo AG-GM va (I), de thay:

$[\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}]+[\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(a-b)(a-c)}{ab}]\ge$

$ \ge \dfrac{2(a-b)(b-c)}{\sqrt{ab^2c}}+\dfrac{2(a-b)(b-c)}{\sqrt{a^2bc}}$.

Vay ta can cm:

$\dfrac{2}{\sqrt{ab^2c}}+\dfrac{2}{\sqrt{a^2bc}}\ge \dfrac{1}{bc}\Leftrightarrow 2\sqrt{\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{bc}{a^2}}\ge 1 (3)$

Lai co:

$VT(3)\ge 2\sqrt{\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{2ac^2}{a^2(a+c)}}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}}+2\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{2} > 1 $ (AG-GM)

$\Rightarrow (3) True$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 13-10-2010 - 00:13

[NightBaron]

Day là 1 cách xử lý khác với TH $a\ge b\ge c$.

Khi do ta có BDT:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$.

$\Rightarrow 2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$. (1)

Lai co:

$VT(1)-6=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(c-a)^2}{ac}\ge \dfrac{4(a-c)^2}{ab+bc+ac}>\dfrac{2(a-c)^2}{ab+bc+ca}$ (Cauchy-Schwarz)

Từ đó ta có DPCM!