cần giúp đỡ :D
#1
Posted 11-10-2010 - 22:24
CMR
1/ $ \dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+e}+\dfrac{c^2}{d+e+a}+\dfrac{d^2}{e+a+b}+\dfrac{e^2}{a+b+c}\ge\dfrac{5}{3} $
2/ $ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+e}+\dfrac{d^2}{e+a}+\dfrac{e^2}{a+b}\ge \dfrac{5}{2} $
#2
Posted 11-10-2010 - 22:28
$ \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }} $
ra ngay đpcm
#3
Posted 11-10-2010 - 22:34
#4
Posted 11-10-2010 - 22:39
$ VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d + e} \right)}^2}}}{{3\left( {a + b + c + d + e} \right)}} = \dfrac{5}{3} $
bài 2
$ VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d + e} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c + d + e} \right)}} = \dfrac{5}{2} $
#5
Posted 11-10-2010 - 22:44
#6
Posted 11-10-2010 - 23:01
$ \dfrac{a^2}{b+c+d+e}+\dfrac{b^2}{c+d+e+a}+\dfrac{c^2}{d+e+a+b}+\dfrac{d^2}{e+a+b+c}+\dfrac{e^2}{a+b+c+d}\ge\dfrac{5}{4} $
bài này dùng Chebyshev thì làm dc được còn 2 bài trên thì chịu
Edited by jin195, 11-10-2010 - 23:02.
#7
Posted 14-10-2010 - 22:10
#8
Posted 14-10-2010 - 23:15
Cho 5 số thực dương $ a,b,c,d,e $ thỏa $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5 $
CMR
1/ $ \dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+e}+\dfrac{c^2}{d+e+a}+\dfrac{d^2}{e+a+b}+\dfrac{e^2}{a+b+c}\ge\dfrac{5}{3} $
2/ $ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+e}+\dfrac{d^2}{e+a}+\dfrac{e^2}{a+b}\ge \dfrac{5}{2} $
Mình làm bài 1 trước, bài 2 ý tưởng tương tự.
1.
Theo Cauchy-Schwarz:
$[\sum a^2(b+c+d)][\sum\dfrac{a^2}{b+c+d}]\ge (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)^2=25$
Lại theo Cauchy-Schwarz:
$[\sum a^2(b+c+d)]^2\le [\sum a^2][\sum a^2(b+c+d)^2]\le [\sum a^2][\sum\dfrac{a^2(b^2+c^2+d^2)}{3}]$
Vậy chỉ cần tìm Max $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ là xong.
Chú ý tới BDT:
$(x+y+z+t+k)^2\ge \dfrac{5}{2}(xy+xz+xt+xk+yz+yt+yk+zt+zk+tk)$
Edited by NightBaron, 14-10-2010 - 23:27.
#9
Posted 15-10-2010 - 22:40
cám ơn anh nhiều lắm,em cũng làm dc tới khúc tìm max của $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ rồi tắcMình làm bài 1 trước, bài 2 ý tưởng tương tự.
1.
Theo Cauchy-Schwarz:
$[\sum a^2(b+c+d)][\sum\dfrac{a^2}{b+c+d}]\ge (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)^2=25$
Lại theo Cauchy-Schwarz:
$[\sum a^2(b+c+d)]^2\le [\sum a^2][\sum a^2(b+c+d)^2]\le [\sum a^2][\sum\dfrac{a^2(b^2+c^2+d^2)}{3}]$
Vậy chỉ cần tìm Max $\sum[a^2(b^2+c^2+d^2)]$ là xong.
Chú ý tới BDT:
$(x+y+z+t+k)^2\ge \dfrac{5}{2}(xy+xz+xt+xk+yz+yt+yk+zt+zk+tk)$
#10
Posted 16-10-2010 - 12:46
Edited by jin195, 16-10-2010 - 12:49.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users