Chủ đề này có 2 trả lời

[ka4]

cho a , b , c là số thực tùy ý . CMR :
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc + 10(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ka4: 13-10-2010 - 15:13

[hoangnbk]

cho a , b , c là số thực tùy ý . CMR :
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc + 10(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

trường hợp a,b,c>0:
đặt $ a+b+c = p, ab+bc+ca=q, abc=r$ Do bdt đối xứng vs 3 biến nên chuẩn hóa $ a^2+b^2+c^2=1$
khi đó , ta dễ thấy
$ p \leq \sqrt{3}, q \leq 1, p^2-2q =1; 1= a^2+b^2+c^2 \geq 3 \sqrt[3]{r^2} \Rightarrow r^2 \leq \dfrac{1}{27}, q \geq 3 \sqrt[3]{r^2}$
bdt cần chứng minh trở thành
$ 6p \leq 27r+10 $. Theo bdt Schur, ta có: $ r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9} \Rightarrow 27r \geq 3p(2q-1)$
ta cần chứng minh $ 6p \leq 6pq-3p+10 \Leftrightarrow 3p(3-2q) \leq 10$
để ý rằng $3-2q=4-(1+2q)=4-p^2$, do đó ta cần chứng minh $ 3p(4-p^2) \leq 10 \Leftrightarrow 3p^3-12p+10 \geq 0$
khảo sát hàm $ f(p)=3p^3 -12p+10 $ trên đoạn $ [0, \sqrt{3}]$
hàm đạt cực tiểu tại $p = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, khi đó $ f(p) $ xấp xỉ 0,76>0, do đó $ f(p) >0 \forall p \in [0, \sqrt{3}]$, do đó ta có đpcm
đẳng thức ko xảy ra

[NightBaron]

cho a , b , c là số thực tùy ý . CMR :
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc + 10(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Nếu $x^2+y^2+z^2=0\Rightarrow x=y=z=0\Rightarrow Q.E.D$

Neu $x^2+y^2+z^2\neq 0$

Chuẩn hóa: $x^2+y^2+z^2=9$.

Bài toán đưa về 1 BDT quen thuộc (là VD dụ điển hình cho pp trộn biến):

$2(x+y+z)-xyz\le 10$.

Giả sử rằng$x=min(x,y,z)$.

TH1: Neu $x>0$.

1.1: Neu $x\ge \dfrac{3}{4}$. De thay:

$2(x+y+z)-xyz\le 2\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(\dfrac{3}{4})^3<10$

1.2: Neu $\dfrac{3}{4}\ge x>0$. Ta co:

$2(x+y+z)-xyz\le 2[\sqrt{2(y^2+z^2)}+\dfrac{3}{4}]<10$

TH2: $x\le 0$.

đặt $f(x,y,z)=2(x+y+z)-xyz$ thì:

$f(x,\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}})-f(x,y,z)$

$=2[\sqrt{2(y^2+z^2)}-y-z]-x[\dfrac{y^2+z^2}{2}-yz] \ge 0$. (true)


Vay ta can cm:

$f(x,\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}})\le 10$.

day là BDT 1 biến, cm không mấy khó khăn!

DT tại $(x,y,z)=(-1;2;2)$ và các hoán vị!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 13-10-2010 - 20:47