Chủ đề này có 4 trả lời

[michinin]

1.Cho dãy $({x_n})$ xác định bởi ${x_1} > 2,{x_{n + 1}} = 1 + \sqrt {{x_n} - 1}$ ,với $n \ge 1$
a. Bằng quy nạp, chứng minh dãy $({x_n})$ giảm và bị chặn dưới.
b. Tìm gới hạn cua dãy khi $n \to \infty$
2.Cho dãy${({u_n})_n}$ được xác định theo công thức truy hồi
${u_1} = \dfrac{3}{2},{u_n} = \sqrt {3{u_{n - 1}} - 2} ,n \ge 2$
Chứng minh rằng ${({u_n})_n}$ là dãy tăng và bị chặn trên. Tìm giới hạn của dãy khi $n \to \infty$ .
Giải giùm nha!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 26-12-2011 - 11:47

[PTH_Thái Hà]

Bài 1
$ {x_{n + 1}} = 1 + \sqrt {{x_n} - 1} $
Ta có ${x_1} > 2 \Rightarrow {x_1} - 1 > 1 \Rightarrow {x_2} = 1 + \sqrt {{x_1} - 1} > 2$
ta sẽ CM $ {x_n} > 2\forall n $ thật vậy
quy nạp: giả sử đúng với n=k cần CM đúng với n=k+1
theo giả thiết quy nạp : ${x_k} > 2 \Rightarrow {x_{k + 1}} = 1 + \sqrt {{x_k} - 1} > 2 $ =>đpcm
lại có: ${x_{n + 1}} < {x_n} \Leftrightarrow 1 + \sqrt {{x_n} - 1} < {x_n} \Leftrightarrow \sqrt {{x_n} - 1} < {x_n} - 1 \Leftrightarrow 1 < \sqrt {{x_n} - 1} $ đúng
$ \Rightarrow \left( {{x_n}} \right) $ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 ( vì x_n luôn lớn hơn 1)
=> dãy x_n có lim hữu hạn đặt là a
$ \Rightarrow a = 1 + \sqrt {a - 1} \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = 1 $

Bài 2
tương tự
dùng quy nạp CM $1 < {x_n} < 2 $ rồi xét
${x_{n + 1}} > {x_n} \Leftrightarrow 3{x_n} - 2 > {x_n}^2 \Leftrightarrow 1 < {x_n} < 2 $ đúng
dãy x_n tăng, bị chặn trên bởi 2 nên nó có lim đặt là a
$ \Rightarrow a = \sqrt {3a - 2} \Rightarrow a = 2 $ vì a>1

[quanganhct]

Bài 1 :
Mình thì lại thấy lời giải sai !
Em Thái Hà đã chứng minh $x_{n} > 2 \forall n$
Thì làm sao mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = 1$
Nếu k là chặn dưới của dãy giảm , thì $\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty}{a_n} \geq k$

Bài này giới hạn là 2.

[khacduongpro_165]

Bài 1 :
Mình thì lại thấy lời giải sai !
Em Thái Hà đã chứng minh $x_{n} > 2 \forall n$
Thì làm sao mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = 1$
Nếu k là chặn dưới của dãy giảm , thì $\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty}{a_n} \geq k$

Bài này giới hạn là 2.

Uh đúng rồi! dãy làm gì họi tụ tại 1?

[frazier]

Bài 1
$ {x_{n + 1}} = 1 + \sqrt {{x_n} - 1} $
Ta có ${x_1} > 2 \Rightarrow {x_1} - 1 > 1 \Rightarrow {x_2} = 1 + \sqrt {{x_1} - 1} > 2$
ta sẽ CM $ {x_n} > 2\forall n $ thật vậy
quy nạp: giả sử đúng với n=k cần CM đúng với n=k+1
theo giả thiết quy nạp : ${x_k} > 2 \Rightarrow {x_{k + 1}} = 1 + \sqrt {{x_k} - 1} > 2 $ =>đpcm
lại có: ${x_{n + 1}} < {x_n} \Leftrightarrow 1 + \sqrt {{x_n} - 1} < {x_n} \Leftrightarrow \sqrt {{x_n} - 1} < {x_n} - 1 \Leftrightarrow 1 < \sqrt {{x_n} - 1} $ đúng
$ \Rightarrow \left( {{x_n}} \right) $ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 ( vì x_n luôn lớn hơn 1)
=> dãy x_n có lim hữu hạn đặt là a
$ \Rightarrow a = 1 + \sqrt {a - 1} \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = 1 $

Bài 2
tương tự
dùng quy nạp CM $1 < {x_n} < 2 $ r�#8220;i xét
${x_{n + 1}} > {x_n} \Leftrightarrow 3{x_n} - 2 > {x_n}^2 \Leftrightarrow 1 < {x_n} < 2 $ đúng
dãy x_n tăng, bị chặn trên bởi 2 nên nó có lim đặt là a
$ \Rightarrow a = \sqrt {3a - 2} \Rightarrow a = 2 $ vì a>1

bài 1 có 2 nghiệm nhé a=2,a=1 loại a=1 do xn>2 nên gh =2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi frazier: 06-11-2010 - 11:56