Chủ đề này có 3 trả lời

[kiokiung]

cho pt x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 co nghiem thuc
tim gia tri nho nhat cua p=a^2+b^2

[h.vuong_pdl]

cho pt $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thực
tìm giá trị nhỏ nhất cua $p=a^2+b^2$

[dark templar]

Gọi $x_0$ là nghiệm của pt
Nhận thấy $x_0=0$ ko là nghiệm pt
Chia 2 vế cho $x_0^2$
ta có $x_0^2+ax_0+b+\dfrac{a}{x_0}+\dfrac{1}{x_0^2}=0$
$ \Leftrightarrow (x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2})+a(x_0+\dfrac{1}{x_0})+b=0$
Đặt $t=x_0+\dfrac{1}{x_0} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}|t| \geq 2\\x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2}=t^2-2\end{array}\right. $
pt trở thành $t^2+at+b-2=0$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:có $(a^2+b^2)(t^2+1) \geq (at+b)^2=(2-t^2)^2$
$ \Rightarrow a^2+b^2 \geq \dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1}$
ta sẽ cm $\dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1} \geq \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow (t^2-4)(5t^2+4) \geq 0$(đúng do $|t| \geq 2 \Rightarrow t^2 \geq 4$)

[h.vuong_pdl]

x = 0 không là nghiệm của pt:
x 0, chia 2 vế pt cho $x^2$ (dễ thấy đây là pt đối xứng bậc 4)
ta có: $pt \leftrightarrow x^2 + ax + b + \dfrac{a}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$
$\Leftrightarrow (x+\dfrac{1}{x})^2 + a(x+\dfrac{1}{x}) + b - 2 = 0$
đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$ thì $|t| \ge 2$
$\to pt \Leftrightarrow t^2 + at + b - 2 = 0$
đk để pt này có nghiệm là: $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow a^2 - 4b + 8 \ge 0$
hơn nữa cần có $|t| \ge 2$
+) $\dfrac{-a + \sqrt{\Delta}}{2} \ge 2$
+) $\dfrac{-a + \sqrt{\Delta}}{2} \le -2$
giải ra: có: $8a - 4b \ge 8$ hoặc $8a + 4b \le -8$
Mặt khác áp dụng BDT Bunhiacopski ta có:
$(64 + 16)(a^2+b^2) \ge (8a \pm 4b)^2 \ge 8^2$
$\to P \ge \dfrac{4}{5}$
vậy $Min_P = \dfrac{4}{5} = dpcm!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 24-10-2010 - 19:56