$\left[ {n\sqrt 3 } \right]\left\{ {n\sqrt 3 } \right\} > \dfrac{1}{3}$
với [a] là phần nguyên số thực a, {a} là phần lẻ số thực a
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RS16: 19-11-2010 - 21:33
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RS16: 19-11-2010 - 21:33
Chứng minh rằng vói mọi n nguyên dương thì
$ n\sqrt{2}n\sqrt{2} > \dfrac{1}{3}$
với [a] là phần nguyên số thực a, {a} là phần lẻ số thực a
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
VIỆT NAM CƯỠI RỒNG BAY TRONG GIÓ
TRUNG QUỐC CƯỠI CHÓ SỦA GÂU GÂU
ủa vậy hảhình như ở trong NCPT toán 9
chuyên đề về phần nguyên thì phải
Bây giờ mới để ý đến bài này. Cũng khá hay đó. Thậm chí còn có thể đánh giá chặt hơn giá trị 1/3.Chứng minh rằng vói mọi n nguyên dương thì
$\left[ {n\sqrt 3 } \right]\left\{ {n\sqrt 3 } \right\} > \dfrac{1}{3}$
với [a] là phần nguyên số thực a, {a} là phần lẻ số thực a
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-02-2011 - 19:26
Em nghĩ phải là max của $\alpha $ phụ thuộc vào nĐể tìm một đánh giá chặt hơn cho bài toán trên. Tôi đề xuất bài toán sau
Tìm $ \alpha $ lớn nhất có thể để cho đẳng thức sau thỏa mãn với mọi n nguyên dương
$\left\lfloor\sqrt{3n^2-4\alpha}\right\rfloor=\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor$
------------
Trường hợp của bài trên là $\alpha=\dfrac{1}{3}$
Phải rồi, em làm vậy đúng rồi đóEm nghĩ phải là max của $\alpha $ phụ thuộc vào n
Sử dụng tính chất của phần nguyên :
$\left\lfloor {\sqrt {3n^2 - \alpha } } \right\rfloor = \left\lfloor {n\sqrt 3 } \right\rfloor \Rightarrow \left| {\sqrt {3n^2 - \alpha } - n\sqrt 3 } \right| < 1 $
$\Leftrightarrow - 1 < \sqrt {3n^2 - \alpha } - n\sqrt 3 < 1 $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n^2 + 1 - 2n\sqrt 3 < 3n^2 - \alpha \\ 3n^2 + 1 + 2n\sqrt 3 > 3n^2 - \alpha \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha < 2n\sqrt 3 - 1 $
Vậy max của $\alpha$ phụ thuộc vào n chứ ????
P/s:Anh hxthanh xem có gì sai ko????
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-02-2011 - 21:01
anh đánh giá chuẩn wa' xá, dạng nguyên thủy bài này đề dễ nhìn hơn nhưng chặt và tổng quát hơn, đề này dc chế để "tôn trọng cái đẹp của toán học" (phong cách PKH ^^)Phải rồi, em làm vậy đúng rồi đó
nice solution!
Đúng là $4\alpha<2n\sqrt 3 -1$
Để thỏa mãn với mọi n nguyên dương (nghĩa là giá trị vẫn thỏa mãn ngay cả với n nhỏ nhất n=1)
Chỉ cần $\alpha <\dfrac{2\sqrt 3 -1}{4}=0.616...$
Thì đẳng thức sẽ thỏa mãn $\forall n\in\mathbb{N}^*$
Từ đó ta xây dựng được bài toán chặt hơn sau:
CMR Với mọi n nguyên dương, ta có
$\boxed{\left\lfloor n\sqrt 3\right\rfloor\left\{n\sqrt 3\right\}>\dfrac{3}{5}}$
à mà vế trái (3) có âm đâu anhBây giờ mới để ý đến bài này. Cũng khá hay đó. Thậm chí còn có thể đánh giá chặt hơn giá trị 1/3.
Phương pháp, chắc là thế này
Ta có
Phần lẻ $\left\{ n\sqrt{3}\right\}=n\sqrt{3}-\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor$
Bất đẳng thức đã cho trở thành $\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor\left(n\sqrt{3}-\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor\right)>\dfrac{1}{3}\;\;\;(1)$
$(1)\Leftrightarrow \left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor^2-n\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor+\dfrac{1}{3}<0\;\;\;(2)$
Xem (2) là bất phương trình bậc 2 với ẩn là $\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor$
Giải (2) ta được nghiệm là:
$\dfrac{3n-\sqrt{9n^2-4}}{2\sqrt{3}}<\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor<\dfrac{3n+\sqrt{9n^2-4}}{2\sqrt{3}}\;\;\;\;(3)$
Ta sẽ chứng minh (3) luôn thỏa mãn $\forall n\in \mathbb{N}^*$
Thật vậy
Vế trái của (3) âm nên luôn thỏa, ta chỉ còn phải chứng minh
$2\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor<3n+\sqrt{9n^2-4}$
...
Ta có $\forall n \in \mathbb{N}^*\;\;\;\;\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor=\left\lfloor \sqrt{3n^2-\dfrac{4}{3}}\right\rfloor\;\;(4)$
((4) xin dành cho các bạn tự chứng minh xem như bài tập về phần nguyên)
...
Từ đó ta có $\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor+\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor<(\sqrt{3}.n\sqrt{3})+\sqrt{3}\sqrt{3n^2-\dfrac{4}{3}}=3n+\sqrt{9n^2-4}$
ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RS16: 07-02-2011 - 20:56
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh