Chủ đề này có 4 trả lời

[tuanlshb1]

mod edit hộ mình nhé! mình không biết gõ latex
x+y=1 Tìm max,min P= :sqrt{1+x^{2011} } + :sqrt{1+ y^{2011} }
x^{2} +y^{2} =1 tìm Max,Min P= :sqrt{1+x}+ :sqrt{1+y}
x,y,z,t>0 và x+y+z+t 2
tìm Min: P=(x+1/y)(y+1/z)(z+1/t)(t+1/x)

[quanganhct]

$x+y=1$ Tìm max,min $P= \sqrt{1+x^{2011} } + \sqrt{1+ y^{2011} } $

$x^{2} +y^{2} =1$ tìm Max,Min $P= \sqrt{1+x}+ \sqrt{1+y} $

$x,y,z,t>0 $và $x+y+z+t \leq 2$
tìm Min: $P=(x+\dfrac{1}{y})(y+\dfrac{1}{z})(z+\dfrac{1}{t})(t+\dfrac{1}{x})$

[dark templar]

mod edit hộ mình nhé! mình không biết gõ latex
$x+y=1$ Tìm max,min $P= \sqrt{1+x^{2011} } + \sqrt{1+ y^{2011} }$
$x^{2} +y^{2} =1$ tìm Max,Min$ P= \sqrt{1+x}+ \sqrt{1+y}$
$x,y,z,t>0 ,x+y+z+t \leq 2$
tìm Min: $P=(x+\dfrac{1}{y})(y+\dfrac{1}{z})(z+\dfrac{1}{t})(t+\dfrac{1}{x})$

Bài 3:
Có $P=\dfrac{(xy+1)(yz+1)(zt+1)(tx+1)}{xyzt}=\dfrac{(xy+4.\dfrac{1}{4})(yz+4.\dfrac{1}{4})(zt+4.\dfrac{1}{4})(tx+4.\dfrac{1}{4})}{xyzt}$
$ \geq \dfrac{5^4.\sqrt[5]{x^2y^2z^2t^2.\dfrac{1}{4^{16}}}}{xyzt}$(BĐT AM-GM)
$=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^3y^3z^3t^3}}$
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{\dfrac{(x+y+z+t)^{12}}{4^{12}}}}$(BĐT AM-GM)
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}}$
$P_{min}=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}} \Leftrightarrow x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$
Bài 2 :
Có $P=\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y} \leq \sqrt{2(2+x+y)}$
$\leq \sqrt{2(2+\sqrt{2(x^2+y^2)})}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
(BĐT Cauchy-Schwarz)
$P_{max}=\sqrt{4+2\sqrt{2}} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-11-2010 - 22:47

[h.vuong_pdl]

$x+y=1$ Tìm max,min $P= \sqrt{1+x^{2011}} + \sqrt{1+y^{2011}}$

Áp dụng cô-si: $x^{2010} + 1 \ge |x|^{1005}, y^{2010} +1 \ge |y|^{1005}$
do đó: $P \ge 2(|x|^{1005} + |y|^{1005})$
co-si tiếp: $2^{1005}.|x|^{1005} + 1004 = (2|x|)^{1005} + 1+ 1+...+1 \ge 1005.\sqrt[1005]{(2|x|)^{1005}} = 2010|x| \ge 2010x$
tương tự với $y$ rồi cộng lại, sử dụng thêm giả thiết $x+y = 1$ => đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 04-11-2010 - 12:41

[tuanlshb1]

Bài 3:
Có $P=\dfrac{(xy+1)(yz+1)(zt+1)(tx+1)}{xyzt}=\dfrac{(xy+4.\dfrac{1}{4})(yz+4.\dfrac{1}{4})(zt+4.\dfrac{1}{4})(tx+4.\dfrac{1}{4})}{xyzt}$
$ \geq \dfrac{5^4.\sqrt[5]{x^2y^2z^2t^2.\dfrac{1}{4^{16}}}}{xyzt}$(BĐT AM-GM)
$=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^3y^3z^3t^3}}$
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{\dfrac{(x+y+z+t)^{12}}{4^{12}}}}$(BĐT AM-GM)
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}}$
$P_{min}=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}} \Leftrightarrow x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$
Bài 2 :
Có $P=\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y} \leq \sqrt{2(2+x+y)}$
$\leq \sqrt{2(2+\sqrt{2(x^2+y^2)})}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
(BĐT Cauchy-Schwarz)
$P_{max}=\sqrt{4+2\sqrt{2}} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

1 chút ý kiến về bài 3 là: nếu thay x=y=z=t=0,5 Pmin= 625/16 ?!