De_III_Bai_2.doc 17.5KB
91 downloads
Xin lỗi không biết dùng MathType trên web nên phải làm thế này. Mong các bạn thông cảm và giúp đỡ.
Giúp mình bài BĐT này với
Started By mr.salomon, 05-11-2010 - 18:13
#1
Posted 05-11-2010 - 18:13
#2
Posted 06-11-2010 - 08:37
Đề :
Cho $a,b,c>0$.CMR:$(a^2+b^2+ab)(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca) \geq (ab+bc+ca)^3$
CM:
Sử dụng đánh giá $a^2+b^2 \geq \dfrac{3}{4}.(a+b)^2$(cái này thì khai triển để cm)
Ta có $VT \geq \dfrac{27}{64}.[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$
Lại có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc $
$\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$
$=\dfrac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)$
(do áp dụng BĐT AM-GM $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc},ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$)
Nên $VT \geq \dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.(a+b+c)^2.(ab+bc+ca)^2 $
$\geq \dfrac{1}{3}.3(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)^2=(ab+bc+ca)^3=VP(dpcm)$
(1 BĐT quen thuộc $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$)
Cho $a,b,c>0$.CMR:$(a^2+b^2+ab)(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca) \geq (ab+bc+ca)^3$
CM:
Sử dụng đánh giá $a^2+b^2 \geq \dfrac{3}{4}.(a+b)^2$(cái này thì khai triển để cm)
Ta có $VT \geq \dfrac{27}{64}.[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$
Lại có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc $
$\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$
$=\dfrac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)$
(do áp dụng BĐT AM-GM $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc},ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc$)
Nên $VT \geq \dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.(a+b+c)^2.(ab+bc+ca)^2 $
$\geq \dfrac{1}{3}.3(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)^2=(ab+bc+ca)^3=VP(dpcm)$
(1 BĐT quen thuộc $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$)
Edited by dark templar, 06-11-2010 - 10:26.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#3
Posted 07-11-2010 - 18:44
Đề :
Cho $a,b,c>0$.CMR:$(a^2+b^2+ab)(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca) \geq (ab+bc+ca)^3$
Nếu dùng Holder thì sẽ đỡ tốn giấy hơn...
#4
Posted 07-11-2010 - 19:08
a^2 + b^2 >= 3/4(a+b)^2 khai trien ra thanh a^2 + b^2 >= 6ab
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#5
Posted 07-11-2010 - 19:18
a^2 + b^2 >= 3/4(a+b)^2 khai trien ra thanh a^2 + b^2 >= 6ab
Lỗi đánh mày thui, là $a^2+ab+b^2\ge \dfrac{3}{4}(a+b)^2$.
#6
Posted 08-11-2010 - 21:57
post thì mọi ng nhìn rõ hơn thui mà ^^
If u don't get a miracles
BECOME ONE !
BECOME ONE !
#7
Posted 10-11-2010 - 13:02
Thanks mọi người nhiều nha. Nhưng đừng có vào topic nay dể câu bài đó!
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users