Chủ đề này có 4 trả lời

[chipbach]

Mấy bài này khó hơn lần trước. Mọi người làm xem.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có $AB + BD \le AC + DC$
Cmr: AB<AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên cạnh AC lấy E sao cho BD=CE. Cmr: BC<DE.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. AA' là đường cao, H là trực tâm.
Cmr: ${\rm{AA}}'.A'H \le \dfrac{{B{C^2}}}{4}$ .

Bài 4: Cho tam giác ABC đều. M là điểm nằm trong tam giác.Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là x, y, z và h là đường cao của tam giac đều. Cmr: ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{1}{3}h$ .

Bài 5; Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nhọn, 3 đường cao của tam giác ABC là ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1},B{B_1},C{C_1}$. Cmr:
a, $\dfrac{{A{A_1}}}{{H{A_1}}} + \dfrac{{B{B_1}}}{{H{B_1}}} + \dfrac{{C{C_1}}}{{H{C_1}}} \ge 9$.
b, $\dfrac{{H{A_1}}}{{HA}} + \dfrac{{H{B_1}}}{{HB}} + \dfrac{{H{C_1}}}{{HC}} \ge \dfrac{3}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi nào?

Bài 6: Cho tam giác ABC có $\angle A = 90^\circ$, AH là đường cao. Cmr: AB+AC<BC+AH.

Bài 7: Cho tam giác ABC, AD là phân giác. Cmr: $A{D^2} < AB.AC$

Bài 8: Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC.
Cmr: $MA.BC < MC.AB + MB.AC$ .

Bài 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a. M là điểm bất kì ở trong tam giác.
Cmr: $MA + MB + MC > \dfrac{{a.\sqrt 3 }}{2}$ .

Bài 10:Cho $\angle xAy = 60^\circ $. B là điểm trên tia Ax, C là điểm trên tia Ay.( $B \ne A;C \ne A$ )
Cmr: $AB + AC \le 2BC$

[dark templar]

bài 3 :
here:http://diendantoanho...showtopic=54742
bài 4 :
$2S_{ABC} = x.BC + y.CA + z.AB = \left( {x + y + z} \right)AB = h.AB $
$\Rightarrow x + y + z = h$
$x^2 + y^2 + z^2 \ge \dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{3} = \dfrac{{h^2 }}{3}\left( {dpcm} \right-Cauchy-Schwarz) $
Bài 5:
a/$\dfrac{{AA_1 }}{{HA_1 }} = \dfrac{{S_{AA_1 B} }}{{S_{A_1 HB} }} = \dfrac{{S_{AA_1 C} }}{{S_{A_1 HC} }} = \dfrac{{S_{ABC} }}{{S_{HBC} }}$
$tt,\dfrac{{BB_1 }}{{HB_1 }} = \dfrac{{S_{ABC} }}{{S_{HAC} }};\dfrac{{CC_1 }}{{HC_1 }} = \dfrac{{S_{ABC} }}{{S_{HAB} }} $
$\Rightarrow \dfrac{{AA_1 }}{{HA_1 }} + \dfrac{{BB_1 }}{{HB_1 }} + \dfrac{{CC_1 }}{{HC_1 }} = S_{ABC} \left( {\dfrac{1}{{S_{HAB} }} + \dfrac{1}{{S_{HAC} }} + \dfrac{1}{{S_{HBC} }}} \right) $
$= \left( {S_{HAB} + S_{HAC} + S_{HBC} } \right)\left( {\dfrac{1}{{S_{HAB} }} + \dfrac{1}{{S_{HAC} }} + \dfrac{1}{{S_{HBC} }}} \right) \ge 9\left( {dpcm - AM - GM} \right) $
b/làm tương tự(sử dụng tỉ số diện tích như trên)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-11-2010 - 18:24

[dark templar]

Bài 6 :
$AB + AC < BC + AH $
$\Leftrightarrow AB^2 + AC^2 + 2AB.AC < BC^2 + AH^2 + 2AH.BC $
$\Leftrightarrow AH^2 > 0\left( {True - 2S_{ABC} = AH.BC = AB.AC;AB^2 + AC^2 = BC^2 - Pytago} \right) $
Bài 7 :
Here:http://diendantoanho...?...c=53600&hl=
Bài 8 :
Here:
http://diendantoanho...mp;#entry243300
Bài 9:
Sử dụng bổ đề sau:
Với M nằm trong tam giác ABC.CMR:$MA.BC + MB.AC + MC.AB \ge 4S_{ABC} $
CHỨNG MINH BỔ ĐỀ :
http://diendantoanho...?...c=54206&hl=
Áp dụng bổ đề ta có
$MA.BC + MB.AC + MC.AB \ge 4S_{ABC} $
$\Leftrightarrow a\left( {MA + MB + MC} \right) \ge 4.\dfrac{{a^2 \sqrt 3 }}{4} $
$\Leftrightarrow MA + MB + MC \ge a\sqrt 3 > \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {dpcm} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-11-2010 - 19:51

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 . Gọi giao điểm của hai đường chéo AC và BD là O ( Bạn tự vẽ hình nhé )
Ta có : AO + OB > AB
OC + OD > CD
=> OA + OB + OC + OD > AB + CD => AC + BD > AB + CD
=> AC - CD > AB - BD => Cộng với bất đẳng thức đã cho thì 2AC > 2AB
=> AC > AB ( đpcm )

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Ta dễ dành chứng minh được BC song song với DE => $ \dfrac{BC}{DE}$ = $ \dfrac{AB}{AB + BD}$ < 1 => BC < DE ( mình không biết đề có hàm ý gì không nữa )