3 replies to this topic

[3T-29]

Cái này mình tìm thấy ở một tờ báo toán tuổi trẻ cũ, thấy hay nên post lên.
Tìm chỗ sai:
Bài toán: Cho $x. y$ là 2 số dương thỏa mãn: $x + \dfrac{1}{y}\leq 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M = 32 \dfrac{x}{y} + 1999 \dfrac{y}{x}$
Lời giải:
Từ $x,y>0$ ta có $ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$
$x,y>0$ và $x+ \dfrac{1}{y} \leq 1$, ta có:
$1 \geq (x + \dfrac{1}{y})^{2} \geq 4x \dfrac{1}{y} \Rightarrow \dfrac{y}{x} \geq 4$.

Do vậy $M=32( \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}) + 1967 \dfrac{y}{x} \geq 32.2 + 1967.4 =7932$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x=y$.
Nhưng $x=y$ thì $M=2031$.
Vậy sai lầm của lời giải ở đâu.???

[dark templar]

Cái này mình tìm thấy ở một tờ báo toán tuổi trẻ cũ, thấy hay nên post lên.
Tìm chỗ sai:
Bài toán: Cho $x. y$ là 2 số dương thỏa mãn: $x + \dfrac{1}{y}\leq 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M = 32 \dfrac{x}{y} + 1999 \dfrac{y}{x}$
Lời giải:
Từ $x,y>0$ ta có $ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2(1)$
$x,y>0$ và $x+ \dfrac{1}{y} \leq 1$, ta có:
$1 \geq (x + \dfrac{1}{y})^{2} \geq 4x \dfrac{1}{y}(2) \Rightarrow \dfrac{y}{x} \geq 4$.

Do vậy $M=32( \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}) + 1967 \dfrac{y}{x} \geq 32.2 + 1967.4 =7932$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x=y$.
Nhưng $x=y$ thì $M=2031$.
Vậy sai lầm của lời giải ở đâu.???

Làm như lời giải thì ko có dấu = xảy ra !Vì dấu = ở BĐT (1) xảy ra khi x=y còn dấu = xảy ra ở BĐT (2) lại xảy ra khi $x=\dfrac{1}{y}$ ,từ đó suy ra ko có dấu = xảy ra!

Edited by dark templar, 01-12-2010 - 18:03.

[Ho pham thieu]

Như dark templar chỉ chính xác.

LG đúng là đặt $t=\dfrac{y}{x} \geq 4$
Lúc này $M=f(t)=1999t+\dfrac{32}{t}$
Cm (= cách biến đôi tương đương hoặc khảo sát) : $f(t) \geq f(4)=8004$
Vậy min M=8004

Edited by Ho pham thieu, 02-12-2010 - 21:11.

[3T-29]

very well.