Cho(O;BC), A là một điểm thuộc đường tròn, vẽ AH vuông góc với BC. Vẽ (I;AH) cắt AB, AC lần lượt ở M,N.Chứng minh:
a, OA vuông góc với MN
b, Vẽ đường kính AK của đường tròn O, gọi E trung điểm HK.Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác BMNC
c, Xác định vị trí của A sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất( nhớ là BC cố định)
d,Gọi đường tròn O giao đường tròn I ở F.Chứng minh AS, MN,BC đồng quy
cho minh hoi cai!can gap
Bắt đầu bởi hoduckhanhgx, 25-12-2010 - 21:52
#2
Đã gửi 26-12-2010 - 12:34
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Bạn ơi ! Đề sai rồi nè . Có phải BC là đường kính (O) còn AH là đường kính (I) không vậy ?
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
#3
Đã gửi 26-12-2010 - 12:36
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5005 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Sửa đề lại là (O) đường kính BC và (I) đường kính AH.
a) Tam giác MAN vuông tại A nội tiếp (I) nên MAN là góc chắn nửa đường tròn. Suy ra, MN là đường kính=> M,I,N thẳng hàng.
Tam giác MAN vuông tại A, trung tuyến AI nên tam giác MIA cân tại I. Suy ra, góc IAM=góc IMA.
Tương tự, góc OAB=góc OBA.
$\angle NMA + \angle OAM = \angle IAM + \angle OBA = 90^ \circ \Rightarrow dpcm$
b)$\angle IMA = \angle IAM = \angle BCA$
Suy ra, BMND là tứ giác nội tiếp.
Lại có: EO là đường trung bình tam giác AHK nên OE//AH. AH
BC nên OE 
BC tại O là trung điểm của BC.
Suy ra, OE là trung trực của BC.
Tương tự, EI là trung trực của MN.
Vậy E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
c) Từ câu b, ta có EB là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
Tam giác OBE vuông tại O.
$ \Rightarrow EB^2 = OE^2 + OB^2 = \dfrac{1}{4}AH^2 + OB^2 \leqslant \dfrac{1}{4}AO^2 + OB^2 = \dfrac{5}{4}OB^2 = \dfrac{5}{{16}}BC^2$
$ \Leftrightarrow EB \leqslant \dfrac{{BC\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow EB_{\max } = \dfrac{{BC\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow AH \equiv AO \Leftrightarrow$ A là trung điểm cung BC.
d)Vẽ MN cắt BC tại S.
Tứ giác BMNC và BFAC nội tiếp nên
$\angle FMS = \angle FAN;\angle FBS = \angle FAC \Rightarrow \angle FMS = \angle FBS$
tứ giác SFMB có M,B là 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn FS với cùng một góc.
SFMB là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \angle SFM = \angle MBC = \angle HAC = \angle INA$
$ \Rightarrow \angle SFM + \angle MFA = \angle MFA + \angle INA = 180^{\text{o}} $
=> S,F,A thẳng hàng. => đpcm
a) Tam giác MAN vuông tại A nội tiếp (I) nên MAN là góc chắn nửa đường tròn. Suy ra, MN là đường kính=> M,I,N thẳng hàng.
Tam giác MAN vuông tại A, trung tuyến AI nên tam giác MIA cân tại I. Suy ra, góc IAM=góc IMA.
Tương tự, góc OAB=góc OBA.
$\angle NMA + \angle OAM = \angle IAM + \angle OBA = 90^ \circ \Rightarrow dpcm$
b)$\angle IMA = \angle IAM = \angle BCA$
Suy ra, BMND là tứ giác nội tiếp.
Lại có: EO là đường trung bình tam giác AHK nên OE//AH. AH
BC nên OE BC tại O là trung điểm của BC.Suy ra, OE là trung trực của BC.
Tương tự, EI là trung trực của MN.
Vậy E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
c) Từ câu b, ta có EB là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
Tam giác OBE vuông tại O.
$ \Rightarrow EB^2 = OE^2 + OB^2 = \dfrac{1}{4}AH^2 + OB^2 \leqslant \dfrac{1}{4}AO^2 + OB^2 = \dfrac{5}{4}OB^2 = \dfrac{5}{{16}}BC^2$
$ \Leftrightarrow EB \leqslant \dfrac{{BC\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow EB_{\max } = \dfrac{{BC\sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow AH \equiv AO \Leftrightarrow$ A là trung điểm cung BC.
d)Vẽ MN cắt BC tại S.
Tứ giác BMNC và BFAC nội tiếp nên
$\angle FMS = \angle FAN;\angle FBS = \angle FAC \Rightarrow \angle FMS = \angle FBS$
tứ giác SFMB có M,B là 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn FS với cùng một góc. SFMB là tứ giác nội tiếp.$ \Rightarrow \angle SFM = \angle MBC = \angle HAC = \angle INA$
$ \Rightarrow \angle SFM + \angle MFA = \angle MFA + \angle INA = 180^{\text{o}} $
=> S,F,A thẳng hàng. => đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-12-2010 - 13:13
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 26-12-2010 - 12:49
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Nếu đề đúng như trên thì ta có thể có như sau : ( Gọi J là giao điểm của MN và AO )
Ta có : Trong ( I ) , Góc ABN = Góc AHN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AN ) . Mặt khác tam giác ANH vuông ( chắn nửa cung tròn )=> Góc AHN = Góc ACH ( cùng phụ với HAC )
=> Góc ABN = góc ACH . Ta lại có : Góc ABN = Góc AIN : 2 và Góc ACH = Góc AOB : 2 ( Tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm ) . => Góc AIN = góc AOB => Tứ giác ỊOH nội tiếp => Góc IJO = 180 - 90 = 90 => AO vuông góc với MN
( Xin lỗi mình không biết gõ latex thông thạo )
Ta có : Trong ( I ) , Góc ABN = Góc AHN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AN ) . Mặt khác tam giác ANH vuông ( chắn nửa cung tròn )=> Góc AHN = Góc ACH ( cùng phụ với HAC )
=> Góc ABN = góc ACH . Ta lại có : Góc ABN = Góc AIN : 2 và Góc ACH = Góc AOB : 2 ( Tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm ) . => Góc AIN = góc AOB => Tứ giác ỊOH nội tiếp => Góc IJO = 180 - 90 = 90 => AO vuông góc với MN
( Xin lỗi mình không biết gõ latex thông thạo )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 26-12-2010 - 12:50
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
#5
Đã gửi 26-12-2010 - 12:53
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Cảm ơn bạn perfectstrong nhiều nha . Ở dưới mình có một cách khác để giải câu a . Nếu bạn thích có thể tham khảo .
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
