Chủ đề này có 3 trả lời

[supermember]

Bài Toán :


Cho trước số thực dương $v$ ; chứng minh rằng với mọi $ \triangle ABC$ ; ta có bất đẳng thức :

$ 2 \left( h^v _a r^v _ a + h^v _b r^v _ b + h^v _c r^v _ c \right) \le r^v _a r^v _ b + r^v _b r^v _ c + r^v _c r^v _ a + 3S^v \left( \dfrac{3p}{4R + r} \right)^v$



Năm 2010 ; hero TVƠ bận nhiều công việc riêng và diễn đàn cũng hơi vắng nên có thể nói là 1 năm không thành công lắm của diễn đàn . Nhân đây ; hero TVƠ cũng xin gửi lời chúc đến các thành viên VMF - dù là cựu ; new hay gì gì đó nha ; chúc mọi người 1 năm nhiều sức khỏe ; nghị lực và đạt thật nhiều thành công . Mong sao ngọn lửa yêu Toán sẽ lan tràn khắp nơi ; thấm vào huyết quản của các thế hệ học sinh - sinh viên - con người Việt Nam . Năm 2011 với 2011 là 1 số nguyên tố ; hứa hẹn nhiều điều an lành .

Nguyễn Kim Anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-12-2010 - 21:32

[vslmat]

Bài Toán :


Cho trước số thực dương $v$ ; chứng minh rằng với mọi $ \triangle ABC$ ; ta có bất đẳng thức :

$ 2 \left( h^v _a r^v _ a + h^v _b r^v _ b + h^v _c r^v _ c \right) \le r^v _a r^v _ b + r^v _b r^v _ c + r^v _c r^v _ a + 3S^v \left( \dfrac{3p}{4R + r} \right)^v$

BĐT này ngoại hình đẹp quá mà lại khá chặt nên $vslmat$ loay hoay mãi vẫn không ra. Mọi người cùng xem lại, xem có ý tưởng nào hay không nhé.
Các vũ khí có thể cần dùng đến:

Với $p = \frac{a + b + c}{2}$

$r_{a} = \sqrt \frac{p(p-a)(p-c)}{p-a}$ ...

$r_{a}+r_{b}+r_{c}= 4R+r$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}}+ \frac{1}{r_{c}}$

$h_{a}= \frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$r_{a}.r_{b} + r_{b}.r_{c} + r_{c}.r_{a} = p^{2}$

và tất nhiên:

$S = r.p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vslmat: 30-07-2012 - 01:35

[dark templar]

Bài Toán :


Cho trước số thực dương $v$ ; chứng minh rằng với mọi $ \triangle ABC$ ; ta có bất đẳng thức :

$ 2 \left( h^v _a r^v _ a + h^v _b r^v _ b + h^v _c r^v _ c \right) \le r^v _a r^v _ b + r^v _b r^v _ c + r^v _c r^v _ a + 3S^v \left( \dfrac{3p}{4R + r} \right)^v$

Sau 1 đêm "lao tâm khổ tứ",cuối cùng mình cũng chuyển được bài này về dạng Đại Số như sau:
Đặt $x=p-a;y=p-b;z=p-c \implies x,y,z>0;x+y+z=p;a=y+z;b=z+x;c=x+y$
Ta có:
$$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=xyz(x+y+z)$$
$$r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{\sqrt{xyz(x+y+z)}}{x}$$
$$h_{a}=\frac{2S}{a}$$
BĐT ban đầu tương đương:
$$2\left[\sum \left(\frac{2S^2}{a(p-a)} \right)^{v} \right] \le \sum \left[\frac{S^2}{(p-a)(p-b)} \right]^{v}+\frac{3^{v+1}.S^{2v}}{[r(4R+r)]^{v}}(1)$$
Có thể nhận thấy rằng:
$$r(4R+r)=4Rr+r^2=\frac{2abc}{a+b+c}+\frac{S^2}{p^2}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}+\frac{xyz(x+y+z)}{(x+y+z)^2}$$
$$=xy+yz+zx$$
Do đó:
$$(1) \iff 2^{v+1}(x+y+z)^{v}\sum \left(\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right)^{v} \le (x+y+z)^{v}\left[x^{v}+y^{v}+z^{v}+\frac{3^{v+1}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)^{v}} \right]$$
Và nếu ta thay $(x;y;z)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} \right)$ thì ta có BĐT sau:
$$2^{v+1}\left[\frac{1}{(x+y)^{v}}+\frac{1}{(y+z)^{v}}+\frac{1}{(z+x)^{v}} \right] \le \frac{1}{x^{v}}+\frac{1}{y^{v}}+\frac{1}{z^{v}}+\frac{3^{v+1}}{(x+y+z)^{v}}$$
Đến đaây mời các bạn chém thử,mình chưa có hướng cho bài này

[dark templar]

Và nếu ta thay $(x;y;z)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} \right)$ thì ta có BĐT sau:
$$2^{v+1}\left[\frac{1}{(x+y)^{v}}+\frac{1}{(y+z)^{v}}+\frac{1}{(z+x)^{v}} \right] \le \frac{1}{x^{v}}+\frac{1}{y^{v}}+\frac{1}{z^{v}}+\frac{3^{v+1}}{(x+y+z)^{v}}$$
Đến đaây mời các bạn chém thử,mình chưa có hướng cho bài này

Cuối cùng cũng có lời giải cho BĐT này
Ta viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$2\left[\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2} \right)^{v}}+\frac{1}{\left(\frac{y+z}{2} \right)^{v}}+\frac{1}{\left(\frac{z+x}{2} \right)^{v}} \right] \le \frac{1}{x^{v}}+\frac{1}{y^{v}}+\frac{1}{z^{v}}+3.\frac{1}{\left(\frac{x+y+z}{3} \right)^{v}}(2)$$
Xét hàm số $f(t)=\frac{1}{t^{v}}$ là hàm lồi trên $(0; +\infty)$,nên :
$$(2) \iff f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\frac{x+y+z}{3} \right) \ge 2\left[f\left(\frac{x+y}{2} \right)+f\left(\frac{y+z}{2} \right)+f\left(\frac{z+x}{2} \right) \right]$$
Đây chính là BĐT Popoviciu cho hàm lồi. các bạn có thể tham khảo thêm về BĐT này ở đây:
P/s:Cảm ơn anh Lộc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-08-2012 - 22:17