Chủ đề này có 5 trả lời

[bienlang_cuatung]

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = $\dfrac{a^3}{b+1} + \dfrac{b^3}{a+1}$
Trong đó a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a.b = 1.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
$2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bienlang_cuatung: 14-01-2011 - 12:20

[perfectstrong]

bài 1:
$\dfrac{{a^3 }}{{b + 1}} + \dfrac{{b + 1}}{4} + \dfrac{1}{2} \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{a^3 }}{{b + 1}}.\dfrac{{b + 1}}{4}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{3a}}{2}(1)$

Tương tự, $\dfrac{{b^3 }}{{a + 1}} + \dfrac{{a + 1}}{4} + \dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{{3b}}{2}(2)$
Cộng lại vế theo vế (1) và (2), ta có:

$\dfrac{{a^3 }}{{b + 1}} + \dfrac{{b + 1}}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{{b^3 }}{{a + 1}} + \dfrac{{a + 1}}{4} + \dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{{3a + 3b}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{a^3 }}{{b + 1}} + \dfrac{{b^3 }}{{a + 1}} \geqslant \dfrac{{5(a + b) - 2}}{4} - 1 \geqslant \dfrac{{5.2\sqrt {ab} - 2}}{4} - 1 = 1$

$\Leftrightarrow \min (\dfrac{{a^3 }}{{b + 1}} + \dfrac{{b^3 }}{{a + 1}}) = 1 \Leftrightarrow a = b = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-01-2011 - 18:30

[perfectstrong]

bài 2:
$\begin{gathered} x + y + z = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2 + y^2 + z^2 = - 2(xy + yz + xz) \hfill \\ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} (x^2 + y^2 + z^2 )(x^3 + y^3 + z^3 ) \hfill \\ = x^5 + y^5 + z^5 + x^2 z^2 (x + z) + y^2 z^2 (y + z) + x^2 y^2 (x + y) \hfill \\ = x^5 + y^5 + z^5 - xyz(xy + yz + xz) \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \Rightarrow x^5 + y^5 + z^5 = (x^2 + y^2 + z^2 )(x^3 + y^3 + z^3 ) + xyz(xy + yz + xz) \hfill \\ = - 2(xy + yz + xz).3xyz + xyz(xy + yz + xz) \hfill \\ = - 5xyz(xy + yz + xz) \hfill \\ \end{gathered} $

$ \Rightarrow 2(x^5 + y^5 + z^5 ) = 5xyz.{\text{[}} - 2(xy + yz + xz){\text{]}} = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2 )$

[khanh3570883]

Có 1 bài thi học kì thế này. Các em làm thử:
Cho 2 số dương $ x,y $ và $ x+y=1 $
Tìm min của biểu thức:
$ \dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy} $

bài này dùng phương pháp chọn điểm rơi đây

[mybest]

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = $\dfrac{a^3}{b+1} + \dfrac{b^3}{a+1}$
Trong đó a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a.b = 1.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
$2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)$

có 2 bài dạng tương tự bài 1
a)Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc=1.Cm $\dfrac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\dfrac{c^{3}}{(1+a)(1+b)} \geq \dfrac{3}{4}$
b)Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=abc.Cm $\dfrac{a^{2}}{a+bc}+\dfrac{b^{2}}{b+ca}+\dfrac{c^{2}}{c+ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Có 1 bài thi học kì thế này. Các em làm thử:
Cho 2 số dương $ x,y $ và $ x+y=1 $
Tìm min của biểu thức:
$ P = \dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy} $

Mới học hồi chiều !
$ x + y = 1 => x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 1 => P = \dfrac{ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 }{x^3+y^3}+\dfrac{ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 }{xy} = 1 + \dfrac{3xy}{x^3 + y^3} + 3 + \dfrac{ x^3 + y^3 }{xy}$
( Đến đây dùng Côsi )