Chủ đề này có 10 trả lời

[Mr. Big Problem]

Bài toán của mình là :

Xét tập A={f trong C[0,1] sao cho f([0,1]) nằm trong [0,1]}.Khẳng định sau liệu có đúng không :
Luôn tồn tại e>0 sao cho với mọi n>0 và n hàm cho trước bất kì f1,..,fn trong A thì ta luôn tìm được một hàm f trong A sao cho sup|f-fi|>=e với i=1..n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 18-06-2005 - 18:19

[hoadaica]

so e la so co dinh doi voi moi n hay sao?

[Mr. Big Problem]

Đúng rồi,số e hiểu là cố định,còn n thì tùy ý.

[vinhspiderman]

Khẳng định đã nêu là đúng.Sau đây là chứng minh của spiderman :

Giả sử không phải như vậy nghĩa là với mọi e,với mọi hàm f trong A luôn tồn tại số n và các hàm f1,...,fn trong A sao cho sup|f-fi|<e với i=1..n.Điều này có nghĩa là không gian A là hoàn toàn bị chặn (1).
Mặt khác,dễ thấy A là đóng (2).
Và cuối cùng,để ý rằng không gian A là đầy đủ (3) cho nên từ (1,2,3) suy ra A là compact.
Vậy nhưng xét dãy hàm gn=x^n trong A.Khi đó dễ dàng chứng minh dãy này không có điểm tụ nào trong A,điều này mâu thuẫn với tính compact của A.Vậy ta có ĐPCM.

[Mr. Big Problem]

Bài tập :
Cho f:I-->R^2 trong đó I là một khoảng con của R.
Với t thuộc I tùy ý chứng minh rằng 2 điều dưới đây là tương đương :

(1)tồn tại giới hạn lìm(f(z)-f(t))/|f(z)-f(t)| khi z-->t+

(2)f khả vi "bên phải" tại t tức là tồn tại ánh xạ tuyến tính l:I-->R^2 sao cho
lim|f(z)-f(t)-l(z-t)|/(z-t)=0 khi z-->t+

[Mr. Big Problem]

Cũng như bên room "đại số và lý thuyết số",mình lập topic này ra để "bỏ" vào các bài toán về giải tích.Hy vọng các bạn quan tâm.

1) Bài toán đầu tiên của mình là tìm ra một phản ví dụ cho định lý Abel.Trong giải tích phức chúng ta đã biết một kết quả quen thuộc là định lý nổi tiếng của Abel về sự liên tục của chuỗi lũy thừa tại các điểm mút dưới đây :

Định lý : Cho chuỗi lũy thừa a(n)z^n trong C.Giả sử chuỗi này có bán kính hội tụ R=1 và a(n) hội tụ.Khi đó f(z)= a(n)z^n sẽ dần về f(1)= a(n) khi z tiến về 1 và thỏa điều kiện |1-z|/(1-|z|) bị chặn .
(người ta nói điều kiện là để đảm bảo z luôn nằm trong góc Stolz)

Bài toán của mình là hãy chỉ ra một phản ví dụ của định lý trên : f(z) không tiến về f(1) khi z dần về 1 nhưng không thỏa điều kiện .

[Mr. Big Problem]

Chooà, cái bài tập trên chắc là khó quá, hix hix, mãi chẳng có một ví dụ nào cả!
Đây là bài toán 2 :

2) Ta biết rằng trong không gian Banach thì chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng hội tụ. Câu hỏi là bạn hãy tìm ra một ví dụ về một không gian định chuẩn không đầy đủ có một chuỗi hội tụ tuyệt đối nhưng không hội tụ.

[Mr. Big Problem]

Chào mọi người, có bài này (functional analysis) các bạn tôi ai cũng bảo là cực dễ nhưng tôi nghĩ 2 ngày rồi mà vẫn chẳng ra, nhờ mọi người giúp hộ một cái.

Bài tập: Cho X là một không gian định chuẩn (normed space) trên K (có thể là R hoặc C), và f là một phiến hàm tuyến tính trên X (a linear functional). Chứng minh rằng nếu Kerf đóng trong X thì f liên tục.

[N.V.Minh]

Chào mọi người, có bài này (functional analysis) các bạn tôi ai cũng bảo là cực dễ nhưng tôi nghĩ 2 ngày rồi mà vẫn chẳng ra, nhờ mọi người giúp hộ một cái.

Bài tập: Cho X là một không gian định chuẩn (normed space) trên K (có thể là R hoặc C), và f là một phiến hàm tuyến tính trên X (a linear functional). Chứng minh rằng nếu Kerf đóng trong X thì f liên tục.

Ở topic
http://diendantoanho...?showtopic=4436
Bạn đã nêu tên một số cuốn sách về DG . Trong [2] cm đl này ở chương đầu tiên còn [5] cm đl này ở tập 1 chương 5 . Tớ post lên thì cũng là chép sách thôi , vậy thay cho post thì đưa tên tài liệu .

[Mr. Big Problem]

Cám ơn bạn N.V.Minh nhiều nhé. Hồi đó tôi chỉ đọc chương về đa tạp trong [2] thành ra không biết nó có trong ấy.

Hệ quả sơ cấp của bài này cũng khá thú vị chứ nhỉ, hệ quả:
Cho f:R-->R là hàm thỏa hai điều kiện
1) f(ax+by)=af(x)+bf(y)
2) f là đơn ánh
Khi đó f liên tục.
Bài tập sơ cấp này ra cho tụi pt cũng tạm tạm nhỉ.

[N.V.Minh]

Hệ quả sơ cấp của bài này cũng khá thú vị chứ nhỉ, hệ quả:
Cho f:R-->R là hàm thỏa hai điều kiện
1) f(ax+by)=af(x)+bf(y)
2) f là đơn ánh
Khi đó f liên tục.
Bài tập sơ cấp này ra cho tụi pt cũng tạm tạm nhỉ.

bài này cần gì đk (2) vì R hữu hạn chiều mà