Bài Toán :
Cho trước tam giác $ ABC$ ; $X$ là điểm nằm trên tia $BC$ sao cho $C$ nằm giữa $B$ và $X$ .
Giả sử đường tròn nội tiếp các tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt $P$ và $Q$ .
Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua $1$ điểm cố định .
Nguyễn Kim Anh
Ta sử dụng bổ đề sau: Tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC, CA tại M,N. D, E là trung điểm của AB, AC.
Khi đó ta có BI, DE, MN đồng quy.
Trở lại bài toán.
Gọi (I), (J) lần lượt là đường tròn nội tiếp tam giác ABX, ACX. (l) là đường trung bình của tam giác ABC.
AX tiếp xúc với (I), (J) tại N, T.
BX tiếp xúc với (I), (J) tại M, S.
Theo bổ đề ta có (l), BI, MN đồng quy tại L.
(l), CJ, ST đồng quy tại K.
Mặt khác dễ dàng chứng minh được PQ là đương trung bình của hình thang MNTS nên suy ra PQ luôn đi qua trung điểm của LK. (đpcm)