bđt trong đề thi thử ĐH
#1
Đã gửi 05-03-2011 - 12:24
tìm max, min của x^3 + y^3 + z^3-3xyz
BECOME ONE !
#2
Đã gửi 05-03-2011 - 12:34
cho các số thực $x,y,z$ tm $x^2 + y^2 + z^2 =2$
tìm max, min của $P=x^3 + y^3 + z^3-3xyz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 12:55
#3
Đã gửi 05-03-2011 - 12:55
$= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $
$ \le {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $
Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 13:03
#4
Đã gửi 05-03-2011 - 13:25
BECOME ONE !
#5
Đã gửi 05-03-2011 - 22:02
em k hiểu chỗ đoạn cuối => p < = (x2+y2+z2)^3
Chỗ đó dùng Cauchy 3 số.
#6
Đã gửi 05-03-2011 - 22:49
$a= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)$
$b=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)$
$c=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $
Có: $abc\leq\(\dfrac{a+b+c}{3})^3 = {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $
Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$
Thế đấy e ah!
#7
Đã gửi 06-03-2011 - 10:45
$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$
$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$
and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is
$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)
Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$
for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$
Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$
So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$
and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$
So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$
#8
Đã gửi 06-03-2011 - 11:07
We can easily use AM-GM inequality to solve this,like khacduongpro had done.And here is my solution:Let $K=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$
$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$
and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is
$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)
Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$
for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$
Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$
So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$
and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$
So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$
Let $A^2=(x^3+y^3+z^2-3xyz)^2=(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^2$
$=(2+2t)(2-t)^2$ with $t=xy+yz+zx$.
By using AM-GM inequality and applying a simple inequality $(x+y+z)^2 \geq 0$,we can easily prove that $-1 \leq t \le 2$.
And our problem is more easier to be solved by letting this function $K=f(t)=(2+2t)(2-t)^2(-1 \le t \le 2)$.
Q.E.D
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-03-2011 - 11:09
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh