5 replies to this topic

[nguyngocphuong]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6 . Chứng minh :
3( a^2+b^2+c^2)+2abc [TAG] [TAG=]52

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6 . Chứng minh :
$3( a^2+b^2+c^2)+2abc \geq 52 $

Đề là thế này phải không bạn !!

[wallunint]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6 . Chứng minh :
$3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2abc \geqslant 52$

Áp dụng bất đẳng thức :${\left( {a + b + c} \right)^3} + 9abc \geqslant 4\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)$
vì ta đang cần $2abc$ nên ta áp dụng bđt trên :
$\begin{gathered}2abc \geqslant \dfrac{{8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - 2{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{9} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {a + b + c} \right)\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \right]}}{9} \hfill \\= \dfrac{{4\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - 36} \right]}}{3} \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy, ta có:
$\begin{gathered}VT \geqslant 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \dfrac{{16}}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) - 48 \hfill \\= 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc} \right) - \dfrac{2}{3}\left( {ab + ac + bc} \right) - 48 \hfill \\\geqslant 3{\left( {a + b + c} \right)^2} - \dfrac{{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{9} - 48 = 108 - 8 - 48 = 52 \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.



ps: tham khảo thêm cách giải trong "Bất đẳng thức hình học" của Vũ Đình Hòa.

Edited by wallunint, 07-03-2011 - 22:34.

[NguyThang khtn]

Áp dụng bất đẳng thức :${\left( {a + b + c} \right)^3} + 9abc \geqslant 4\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)$
vì ta đang cần $2abc$ nên ta áp dụng bđt trên :
$\begin{gathered}2abc \geqslant \dfrac{{8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - 2{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{9} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {a + b + c} \right)\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \right]}}{9} \hfill \\= \dfrac{{4\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - 36} \right]}}{3} \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy, ta có:
$\begin{gathered}VT \geqslant 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \dfrac{{16}}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) - 48 \hfill \\= 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc} \right) - \dfrac{2}{3}\left( {ab + ac + bc} \right) - 48 \hfill \\\geqslant 3{\left( {a + b + c} \right)^2} - \dfrac{{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{9} - 48 = 108 - 8 - 48 = 52 \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
ps: tham khảo thêm cách giải trong "Bất đẳng thức hình học" của Vũ Đình Hòa.

Đặt $x=a+b-c;y=b+c-a;z=a+c-b $
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x,y,z>0\\x+y+z=6\\a=\dfrac{x+z-y}{2}\\b=\dfrac{x+y-z}{2}\\c=\dfrac{y+z-x}{2}\end{array}\right. $
BĐT cần chứng minh trở thành:
$\dfrac{3}{4}\sum (x+y-z)^2 +\dfrac{(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)}{4} \ge 52$
$ \Leftrightarrow 9(x^2+y^2+z^2)+18(xy+yz+zx) -8xyz \ge 424$
Đến đây xài p,q,r để giải nhé Để ý rằng $p=x+y+z=6$

còn đây là của mình!

$Use \ 2abc \geq \dfrac{2(a+b+c)[4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2]}{9} = \dfrac{4[4(ab+bc+ca) - 36]}{3} $

$3(a^2+b^2+c^2)+2abc \geq 3(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{16}{3}(ab+bc+ca) - 48 $

$ = 3(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) -\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca) - 48 \geq 3(a+b+c)^2 - 8-48 = 52$

[nguyngocphuong]

Còn đây là đáp án cua tui
Do 2p=6
=>a,b,c < 3 (BDT tam giac)
Áp dung bdt Cô si cho 3 số ta được
(3-a)(3-b)(3-c) 1
=>27-9(a+b+c)+3(ab +bc+ac)-abc 1 =>abc 3(ab+bc+ac)-28
=>3(a^2+b^2+c^2) +2abc =3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+cb+ca)-56=3(a+b+c)^2-56 =52
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=2

[nguyngocphuong]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6 . Chứng minh :
3( a^2+b^2+c^2)+2abc 52