Chủ đề này có 1 trả lời

[caheo1234]

Cho x,y là các số thực thỏa mãn X^2+xy+y^2=<3
CMR
-4 :sqrt{3}-3 =< x^2 -xy-3 y^2 =< 4 :sqrt{3}
-3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caheo1234: 10-03-2011 - 23:41

[hxthanh]

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^2+xy+y^2 \le 3$
$P=x^2-xy-3y^2$
a) $Max(P)=?$
b) $Min(P)=?$

Nêu hẳn vấn đề như vậy cho bài toán phức tạp hơn
a) Tìm Max(P)
Ta sẽ tìm và khai triển bình phương của một tổng sao cho có được biểu thức sau:
$(x^2+xy+y^2)-A(x^2-xy-3y^2) \ge 0 \\ \Rightarrow (x^2-xy-3y^2) \le \dfrac{(x^2+xy+y^2)}{A} \le \dfrac{3}{A}\;\;(1)$
Với $A>0$ là số thích hợp để cho Vế trái thành bình phương 1 tổng.
Ở VT: hệ số $x^2$ là $1-A$ Hệ số $y^2$ là $1+3A$
Ta phải tìm $0<A<1$ sao cho vế trái đúng bằng $\left(x\sqrt{1-A}+y\sqrt{1+3A}\right)^2$
Từ đây ta có $1+A=2\sqrt{(1-A)(1+3A)} \Rightarrow A=\dfrac{3+4\sqrt{3}}{13}$
Theo (1) rõ ràng ta có:

$P \le \dfrac{3}{A}=\dfrac{3.13}{4\sqrt{3}+3}=4\sqrt{3}-3=Max(P)$

Dấu đẳng thức đạt được tại:
$ \left\{\begin{array}{l}x^2+xy+y^2=3 \\ \left(x\sqrt{1-A}+y\sqrt{1+3A}\right)=0\end{array}\right. $ $\Leftrightarrow (x,y)=\left(-\sqrt{2+\sqrt{3}},\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$

b) Tìm Min(P) - Tương tự như trên
Ta sẽ tìm $B>0$ sao cho VT biểu thức dưới đây là bình phương của một tổng
$B(x^2-xy-3y^2)+(x^2+xy+y^2) \ge 0 \\ \Rightarrow (x^2-xy-3y^2) \ge -\,\dfrac{(x^2+xy+y^2)}{B}\ge -\,\dfrac{3}{B}\;\;(2)$
Cân bằng các hệ số ở VT (tìm hs xy để được đúng tổng BP) ta có:
$2\sqrt{(1+B)(1-3B)}=1-B \Rightarrow B=\dfrac{4\sqrt{3}-3}{13}$
Theo (2) ta có:

$P \ge -\,\dfrac{3}{B}=\dfrac{-3.13}{4\sqrt{3}-3}=-3-4\sqrt{3}=Min(P)$

Dấu đẳng thức đạt được tại:
$ \left\{\begin{array}{l}x^2+xy+y^2=3 \\ \left(x\sqrt{1+B}+y\sqrt{1-3B}\right)=0\end{array}\right. $ $\Leftrightarrow (x,y)=\left(-\sqrt{2-\sqrt{3}},\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 11-03-2011 - 07:07